2009级数学与应用数学和信息与计算科学专业偏微分方程数值解上机实验利用有限元方法和有限差分方法求解偏微分方程实验题目日年12月172012完成日期张灵刚学生姓名1102090所在班级王晓东任课教师西北工业大学理学院应用数学系目录一．实验目的………………………………………..…….（2）二．实验要求…………………………………….…...….（2）三．实验题目……………………………………….………（3）四．实验二……………………………………………….…（4）1.实验内容…………………………………….…..（4）2.实验原理……………………………………….…（4）.3算法流程………………………………….………（5）4结果分析…………………………………………..（5）5总结讨论…………………………………………..（6）6源程序………………………………………..……（6）五.实验三1.实验内容…………………………………………（17）2.实验原理…………………………………….….（17）.3算法流程………………………………………….（18）4结果分析……………………………………….….（18）.5总结讨论………………………………………….（21）6源程序……………………………………………（21）1偏微分方程数值解上机实验报告实验地点：数学系机房实验时间：第13—15周，周一、四下午5、6节实验分数：占期末考试成绩的30%一、实验目的及意义掌握有限元方法和有限差分方法的程序实现；学会选择合适的有限差分格式求解一维非线性对流占优的非定常对流扩散问题；学会使用三角线性元和四边形线性元的有限元方法求解二维椭圆方程边值问题，并对计算结果进行收敛性分析；尝试采用有限元方法或有限差分方法实现二维初边值抛物型方程的大规模数值求解。通过实验可以提高学生的动手能力，加深学生对算法的理解。二、实验要求在下列给出的三个问题中，最少选择两个问题进行编程实现。要求给出格式的推导过程、算法流程、实现程序、选取的网格参数、以表格或图形的方式给出计算结果、对计算结果进行分析、最后对实验进行总结和讨论。2问题2：用三角线性元和四边形线性元的有限元方法求解方程：2???y),(x,y)x)sin(2?(0,1)u???8?(0,1)cos(2?).y)?sin(2y)?u(1,yuu(x,0)?u(x,1)?0;(0,取比较两种方法的计算精度，并给出数值=1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,h收敛率.问题3：选用合适的数值方法求解方程：?u22?1???u,(x,xy?4)y?)(0,1)?4??(4?(0,1)?t??0;)?(x,1,tu)(x,0,t?u?)u(0,y,t?u(1,y,t)yy22??).)cos(,0)x,y?sin(yxu(33311517474971374367、、时，求点、、、),((,,))((,),()0.5,1.00.1,t?1286464128128646464641281098912712963913133、、、处的数值解。)(,,(),(),()2562561281282562562562563上机实验（二）一、实验内容用三角线性元和四边形线性元的有限元方法求解方程：2???y),(x,y)u???8?(0,1)cos(2)sin(2x?(0,1)?).?sin(2y)(0,y)?u(1,yux,0)u(x?u(,1)?0;取比较两种方法的计算精度，并给出数值=1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,h收敛率二、实验原理由于计算机只能存储有限个数据和做有限次运算，所以必须把连续问题离散化，有限元法通过把求解偏微分问题转化为变分问题，实质上就是Ritz-Galerkin法，利用有穷维空间近似代替无穷维空间，从而转化为求多元二次函数的极值问题。然后选定单元形状，对求解域进行剖分。构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间了，再形成有限元方程，并提供求解有限元方程的有效方法。三、算法流程对求解域进行网格剖分构造求解问题的基函数4形成有限元方程求解有限元方程求解数值收敛给出实验结果分析四、计算结果及分析四边形元实空间三角元实误差际误差长h10.0273080.129816410.0036590.016676810.0004570.0020811610.0000570.0002603210.0000070.00003264结果分析：通过给出的上述结果可以发现三种方法相比四边形元的实际求解误差最小，这是由于四边形型元中的基函数中含有项，使得四边形元的误差远比三角形元小，且当空间步长不y?x断加细时，向前差分的误差逐渐和四边形元接近。而对于收敛率的求解，如果舍去误差，三种方法的收敛率都约为3.五、总结和讨论有限元计算的有关问...