专题解析——切线证明切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．C的切线，只要我们连接是⊙ODC思路：要想证明ABOD即可．＝90oOC，证明∠OCD．，BC证明：连接OC1图．＝90o为⊙O的直径，∴∠ACB AB1OB＝．AB＝ ∠CAB＝30o，∴BC21OD．∴∠OCD＝90o＝ BD＝OB，∴BC．2∴DC是⊙O的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．C又证明另一条直线本题中既有圆的切线是已知条件，思路：D又要运是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，2413ABO的切线，只要证明∠用圆的切线的判定定理．欲证明CDO是⊙90o即可．＝ODC2图OD．证明：连接．4＝∠2，∠3＝∠1，∴∠AD∥OC ． OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又 OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC． BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．∴DC是⊙O的切线．【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．D过切点——与圆的切线垂直于思路：利用圆的切线的性质C12的半径．3ABOOC．证明：连接3图OC⊥CD． CD是⊙O的切线，∴．＝∠2 AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠13．OC ＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠．DAB∴AC平分∠在解决切线的位置一般是确定的．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，那么半径垂直得到半径，有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，切线．、1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC4【例】如图是⊙O的切线吗？为什么？．，∠ACD=2∠BACABBC，过点C作CD⊥于D是⊙O的切线．解：AC理由：连接OC，OB， OC=B∴∠OCB=∠． ∠COD是△BOC的外角，．∠B∠∴∠COD=OCB+∠B=2，B ∠ACD=2∠∠∴∠ACD=COD． CD，DAB于⊥COD=90°．∴∠DCO+∠=90°DCO∴∠+∠ACD．OC⊥．AC即上的点， C为⊙O∴AC是⊙O的切线．AB的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，是DABC25【例】如图，已知⊙Ｏ是△．求证：DCAE的延长线上的一点，⊥交EAB平分∠ACE的延长线于点DC，且的切线．O是⊙DE．证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO， AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．求证：AC是⊙O的切线E．OE⊥AC，垂足为证明:连接OD，作OC． AB=AC,OB=EAODAO=∠AO为∠BAC角平分线，∠∴D，O与AB相切于点 ⊙． AO=AO∠CEO=90°∴∠BDO=OD．，所以OE=∴△ADO≌△AEO的半径．OE是⊙O的半径，∴ OD是⊙O边相切．与AC∴⊙OAC，交BC于D以AB为直径的⊙O交7【例】如图，在△ABC中，AB=AC，F.延长线于为切点的切线交OD于E，B.O相切求证：EF与⊙AD.OE，证明：连结O的直径， AB是⊙BC.⊥∴AD，又 AB=BC4.∠∴∠3=⌒⌒2.∠∴BD=DE，∠1=又 OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF. BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.0.∴∠OEF=90.相切O与⊙EF∴说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC. AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC. PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC. ∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又 ∠B=∠E，∴∠1=∠E AE是⊙O的直径，0.∠E...