小振幅波有限差分方法数值模拟摘要：文章研究了二维水槽下线性势流方程小振幅波的数值解，采用crank-nicolson隐式有限差分方法对线性势流方程组进行离散.通过坐标变换将随不规则物理区域变换成一个固定的正方形计算区域，运用交错网格对计算区域进行分割。数值模拟自由面小振幅波的波高，计算出自由面波高的误差值.数值结果表明数值解很好地吻合解析解以及小振幅波具有驻波的线性特征和波节不动性。abstract：themodelofsmall-amplitudewaterwavehasbeendevelopedbasedonpotentialflowtheory.therearenumericalexperimentsofwaterwavemotionundertakeninatwodimensionaltank.crank-nicolson’simplicitschemeisadoptedtodiscretizetheequationsaboutthelinearpotentialflow.firstly，coordinatetransformationisintroducedtomapthetime-dependentirregularphysicaldomaintoatime-independentfixedsquarecalculationdomain.secondly，astaggeredmeshsystemisappliedtodividecalculationdomain.thenumericalresultsagreewellwithanalyticresultandsmall-amplitudewavehavestandingwavelinearfeaturesandnodeimmobility.关键词：小振幅波；crank-nicolson隐式有限差分方法；交错网格keywords：small-amplitudewave；crank-nicolsonimplicitfinitedifferencemethod；staggeredgrid中图分类号：o351文献标识码：a文章编号：1006-4311（2013）18-0295-030引言小振幅波波动模型具有简单实用的特点，同时又是考虑方程非线性，能量耗散和波浪随机性等高级模型的基础，因此具有理论和实用价值。重力作用下的水波运动，通常可以将它视为不可压缩，无粘，无旋的理想流体势运动。当波高相对于波长和静水深度很小，可以用线性化理论处理时叫作小振幅波[1]。国内外学者对小振幅波进行了大量研究并将其运用到工程领域。airy[2]首先提出小振幅波理论，将自由表面边界条件略去非线性项，简化为线性的自由表面条件。g.dean[3]详细介绍求解线性势流方程组解析解的全过程，并对驻波，行进波进行模拟。stokes[4]首次将摄动法用于非线性波研究，将有限振幅的非线性波视为无限多个线性波的fourier组合，求得有限振幅非线性波的二阶级数解析解。t.ramadan[5]在线性浅水波基础上研究海啸的产生和传播。ben-menahem[6]利用小振幅波理论计算移动源的二维辐射方向图。hayir[7]将线性浅水波应用到海洋深度对海啸振幅影响的研究。das[8]构建自由面势波，研究在忽略和考虑两种不同情况下，表面张力对深水自由表面的作用。钱铁[9]使用区域变换方法求解综合考虑折射，反射，绕射影响下小振幅波数学模型。张双志[10]---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---根据流体力学基本原理，对无限深水中的小振幅波进行了总结和讨论。沈纪苹[11]分析了airy线性波和二阶stokes波对水中的梁所受水动力及非线性振动特征。基于以上分析，对线性势流方程组采用crank-nicolson隐式有限差分方法进行离散。对小振幅波进行数值模拟，数值结果表明数值解很好地吻合解析解。从小振幅波不同时刻的波形发现，波在波节处静止不动。1小振幅波数学模型本节介绍定义在二维水槽的小振幅波数学模型，假设水槽中的流体为不可压缩，无粘，无旋的理想流体。笛卡尔坐标系（xoz）建立在自由面上（如图1）。其中静止液面中点为原点，x轴正方向水平向右，z轴正方向垂直向上，其中原点到水槽左右两侧边界为b1，b2，到底部边界为-d，自由面到水槽底部的距离表示为h=d+η，η表示静止水面到自由面的波高。下面给出小振幅波数学模型[3]：■+■=0（1）■+gη=0，z=0（2）■-■=0，z=0（3）■■=0，■■=0（4）其中？准表示速度势，t表示时间，p表示液体静压力，p0表示自由面压力，ρ表示液体密度，g为重力加速度。速度与速度势的关系■=u，■=w（5）定义初始条件？准=0，η=η0，t=0（6）2区域坐标变换和方程组无量纲化2.1坐标变换通过坐标变换公式x=■，z=■（7）将如图1的物理区域转换为如图2的正方形计算区域，用平行于坐标轴x，z的线段将物理区域分割成（m+1）×（n+1）个小区域，其中b1=x1？燮x2？燮…？燮xm+1...