第九章简单几何体9.1棱柱、棱锥、棱台1.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是（）．A．1B．2C．3D．4解：A2．已知长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的角分别是、、，写出一个、、满足的关系式．解：见题2解析图．设．γβαD'C'B'A'DCBA题2解析图由于则．3．如图9-15，在棱锥中，与底面平行的平面截棱锥得多边形，点在底面、截面的射影分别是、，求证：图915C'D'E'H'DHECBAP（1）．（2）截面与底面相似．（3）．证明：（1）如图所示，连接和．和分别是平面和平面与平面的交线．---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---由于平面∥平面，则．同理可证，．则．（2）由于，是公共角，则，．同理可证，．由于截面与底的对应边成比例，则截面与底相似．（3）由（2）知，．4．以1，l，1，，，为六条棱长的四面体有多少个?解：3个．5．四面体中，面，，点满足，其中为正数且．若直线是由到面、面和面的距离相等的点构成，求二面角的余弦值（用，，表示）．解：在面上．面，，则在面的垂足在上．又．同理．则．6．如图9-16，已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，在棱上，当点使得最小时，求异面直线与所成的角．---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---图916B1N1C1A1HGFENCBA解：如图可知为中点时，满足题意．由于则．又由于，则，又．则，则．7．如图9-17，正四棱柱中，对角线与侧面所成角为，求：D1C1B1A1DCBA图917（1）与底面所成角．（2）异面直线与所成角．（3）正四棱柱的全面积．解：（1）在正四棱柱中，由于面，则是与侧面所成角，即．由于，则，由于是正方形，则，平面，则是与底面所成角，---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---在中，，，则则，即与底面所成角为．（2）由于，则是与所成角（或补角）．由于平面，则中，，则，则，即异面直线与，所成角为．（3）中，，．则，则．8．如图9-18，已知三棱锥中，、、与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面．求：图918BFEDACP（1）与底面所成角．（2）到平面的距离．解：（1）证明：由于、、与底面所成角相等，则顶点在底面上的射影为底面的外心．而的外心在斜边的中点处，即平面，而平面，则平面底面．---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---由于截面，平面，且平面平面，则截面，而为中点，则为的中点．过作，则与的交点，为的中点，连接，由于底面，则底面．则为与底面所成的角．，则，而，则为等腰直角三角形．在中，．则与底面所成角的正弦值为，所以成角为（2）等体积法，可得：．9．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有__________个．解：24个．10．如图9-19，为正方体．任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为则（）．E'D'C'B'A'DCBA图919A．为定值，不为定值B．不为定值，为定值C．与均为定值D．与均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如题10解析图中），显然，故为定值．正确选项为B．---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---A1E1B1D'DCBB'E'A'题10解析图11．如图9-20，长方体，，，，为中点，若平面与平面所成二面角的平面角为，则=__________．cbaDABCED1C1B1A1图920解：．12．如图9-21，已知直三棱柱的底面为直角三角形，，是上一动点．求的最小值．C1B1A1PCBA图921解：将直三棱柱侧面展开可得：．13．设棱台的两底面积分别为、，它的中截面的面积为，求证：．证明：如题13解析图所示，因为棱台的中截面与...