6.4.1平面几何中的向量方法导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．【自主学习】知识点1向量方法在几何中的应用对于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝或＝.知识点2平面几何中的向量方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．知识点3直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．【合作探究】探究一利用向量证明平行或垂直问题【例1】如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MN∥AD.[分析]本题是求判定直线平行的问题，它可以转化为证明向量共线来解决．[证明] EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，设AB＝μEF(μ≠1)，则＝μ，AE＝(μ－1)EN，同理，由EF∥CD，可得DE＝(μ－1)EM，∴AD＝ED－EA＝AE－DE＝(μ－1)MN， μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD＝λMN，即AD∥MN.归纳总结：【练习1】如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.证明： AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD.探究二利用向量解决长度和夹角问题【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．[分析]本题是求线段长度和夹角的问题，它可以转化为求向量的模来解决．[解](1)设AB＝a，AC＝b，则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.∴|AD|2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3.∴AD＝.(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD与AC的夹角．∴cosθ＝＝＝＝＝0.∴θ＝90°，∴∠DAC＝90°.归纳总结：先利用图形特点和已知条件选择基底表示目标向量，再利用公式求解是解决与平面图形有关的向量夹角及长度问题的常见方法.【练习2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解：设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b,AC＝a＋b.而|BD|＝|a－b|＝＝＝＝2，①∴|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b. 由①得2a·b＝1.∴|AC|2＝6，∴|AC|＝，即AC＝.探究三利用向量解决直线问题【例3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．解(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)．∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则CN⊥AB.∴CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)．∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．归纳总结：(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用．【练习3】在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．解AB＝(3,4)，AC＝(－8,6)，∠A的平分线的一个方向向量为：＋...