解析几何中的定点、定值、最值问题一基础训练1．若点在圆上运动，则的最小值为的最大值为的最大值为2．椭圆的焦点为，点为其上一动点，以为钝角时，点的横坐标的范围是3．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆中，面积的最小值为4．已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点，则的最大值为5．设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为6．已知椭圆，为椭圆的左、右两个顶点，P为椭圆上异于的任意一点，直线交直线于两点，则线段的最小值为二解答题例1已知椭圆：．是椭圆上的两个动点，点是椭圆上的一个定点．如果直线的斜率互为相反数，试证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值．解：①“特殊”探讨：取点(即右顶点)直线的方程：．由．②一般性的证明：设过点的直线方程为：---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---QNRAF1F2MPBHGxy由．设方程的两根为、，则·＝＝．分别用“”“”替换“”＝，＝，＝，＝．所以直线的斜率=．即直线的斜率为定值，其值为．例2．若椭圆的方程为，、是它的左、右焦点，椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为、，直线的方程为，是椭圆上任一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；（Ⅲ）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与轴交于点，．证明：为定值．解：（1）（2）设，则，=---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---（3）设，,由得所以代入椭圆方程得①同理由得②由①-②得例3．在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x＝m＋1与x轴的交点为B，且BF2＝m．（1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的取值范围；②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若AM＝λAP，BM＝BQ，求证：λ＋为定值．18．解：（1）设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意，得解得所以椭圆方程为＋＝1．因为椭圆C过点(，1)，所以＋＝1，解得m＝2或m＝－(舍去）．所以m＝2．4分（2）①设点T(x，y)．由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2．…6分由得y2＝m2－m．故0≤m2－m≤m，得1≤m≤2．所以椭圆C的离心率e＝\s\up1()[，]．10分②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则Combin＝(x0＋2，y0)，Combin＝(x1＋2，y1)．由Combin＝Combin，得从而……12分因为＋y02＝1，所以＋(y1)2＝1．即2(＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．因为＋y12＝1，代入得2(－1)x1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1，故x1＝－，所以x0＝．同理可得x0＝．……14分因此＝，所以λ＋＝6．16分（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．直线AM的方程为y＝(x＋2)．将y＝(x＋2)代入＋y2＝1，得((x0＋2)2＋yCombin)x2＋4yCombinx＋4yCombin－(x0＋2)2＝0(*)．因为＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4yCombinx－3xCombin－4x0＝0．因为x0x1＝－，所以x1＝－．同理x2＝．14分因为Combin＝Combin，BM＝BQ，所以λ＋＝＋＝＋＝＋＝6．即λ＋为定值6．16分例4.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.(1)求椭圆的方程．(2)若点分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；②设过点垂直于的直线为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．解：(1)由题意得2c＝2，所以c＝1.又＋＝1，消去a得2b4－5b2－3＝0，解得b2＝3或b2＝－(舍去)，---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---xyAOBMPQF2F1l则a2＝4，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)①设P(x1，y1)(y1≠0)，M(2，y0)，则B(2,0)，k1＝，k2＝，因为A，P，M三点共线，所以y0＝，所以k1k2＝＝.因为P(x1，y1)在椭圆上，所以y＝(4－x)，所以k1k2＝＝－，为定值．②直线BP的斜率为k2＝，直线m的斜率为km＝，则直线m的方程为y－y0＝(x－2)，y＝(x－2)＋y0＝x－＋＝x＋＝x＋＝x＋＝(x＋1)，所以直线m过定点...