求解三维准静态矢量磁位的快速多极方法摘要：将快速多极算法(FMM)应用于三维准静态电磁场矢量磁位的求解，首先根据计算精度的要求把连续分布的场源进行离散化处理，然后通过静电类比分析，将求解三维准静态矢量磁位的问题转化为多体问题，进而利用快速多极方法来计算三维空间中载流导体产生的矢量磁位，可以将计算量由O(N2)降低为O(N)次运算，大大提高了计算速度，算例的计算结果表明，当取剖分体积单元的边长等于0.25倍透入深度时，采用FMM方法计算的电流密度不均匀分布载流导体在其自身所在空间的磁矢位与精确解的相对误差小于0.005，而其在自身所在空间以外的磁矢位的FMM计算结果，具有更高的精度，经过积分方程离散和静电模拟分析，应用FMM算法可正确地计算三维空间载流导体的矢量磁位，计算误差可通过剖分密度进行控制，提出的方法扩展了FMM算法在准静态矢量磁位数值计算领域中的应用，为芯片上互连电感参数的计算奠定了基础。关键词：快速多极算法；电磁场；数值计算；矢量磁位；载流导体：TMl53.1文献标识码：A：0253-987X(2007)04-0489-04近年来，快速多极方法(FMM)算法越来越多地应用于电磁场数值计算的各个领域，与传统的算法比较，应用FMM算法来求解大尺寸电磁散射问题，可大大降低内存需要，计算速度显著提高[1-3]，FMM算法与边界元和有限元方法相结合，来求解大型涡流场问题也取得了很好的计算效果[4-6]，由于FMM算法很适合于进行并行计算，采用并行FMM算法可以求解上百万个未知数的大型矩阵向量乘法运算[7]，大量的数值计算试验已经证明了FMM算法是一种非常有效的数值加速算法。在集成电路互连线的分析与设计过程中，需要计算互连线在空间中某些区域内的电磁场分布，在这种情况下，应用有限元方法求解电磁场问题需要对整个场域进行剖分，由于集成电路互连线分布结构复杂，为获得较高的精度需要加密对场域或边界的剖分，这样计算机的内存占用和计算时间会急剧增加，本文提出的方法首先根据计算精度的要求把连续分布的场源进行离散化处理，然后通过静电类比分析，将求解三维准静态矢量磁位的问题转化为多体问题，进而利用快速多极方法来计算，该算法只需要对场源和需要计算的场域进行剖分，大大降低了对计算机内存的要求，提高了计算速度。本文通过对积分方程的离散和静电类比分析，推导出了应用多极加速方法计算磁矢位的公式，最后通过算例证明了算法的正确性和有效性。1积分方程的离散根据电磁场数值分析理论，在研究连续分布的量的作用时，可以把它近似看成离散分布的量，考察其单个离散元的作用，如果问题是线性的，那么通过叠加的办法就能求得整体的效果。对于各向同性媒质中的载流导体，电流密度矢量为J，在无限大空间中产生的磁矢位为根据计算精度的要求，首先将导体剖分为N个小体积单元，可以近似认为每个小体积单元内的电流密度为恒定，经过这样的离散化，得到在x、y、z方向上的分量．矢量磁位A由3个方向的分量合成2静电模拟设空间中体积单元Vi处分布着体电荷密度为ρi的静止电荷，在空间中P点处产生的电位因为体积单元Vi很小，从而体积单元内的电荷密度ρi可近似为恒定．根据FMM算法中多极展开的思想[8]，当计算远场区域的电位时，我们可以进一步用体积单元内均匀分布的M个等量静止电荷来近似电荷的体分布式中：△Vi表示剖分单元i的体积。由式(9)可见，经过积分方程离散和静电模拟分析，我们已经把求解载流导体在无限大空间中产生的磁矢位的问题转化为多体问题，这样经过3次运用FMM算法，分别求3示例计算例1：如图l所示，求载流导体A在其自身所在空间区域和导体B所在的空间区域的矢量磁位，载流导体A电流分布均匀，电流密度就为Jx=0.000lA/μm2。首先对载流导体A和B进行剖分，取剖分单元为立方体，分别采取3种不同的剖分密度计算，即分别取体积单元的边长a1=0.5,μm，a2=O.25μm，a3=0.125/μm，取每个体积单元的等效静止电荷数M=8，应用FMM算法求解时，剖分场域层数为5，多极展开截止级数项p=12。分别采取不同剖分密度计算导体A、B所在空间区域中部分场点的矢量磁位，计算结果见表l、表2．表中Aa1、Aa2和Aa3分别表示3种不同剖分密度下应用多极算法计算的矢...