泰勒公式及其它的应用摘要：泰勒公式在数学分析和研究数学问题中有着重要作用，本文主要采用举例分析的方法介绍了泰勒公式在求极限，近似值，导数。证明定积分，不等式，判断级数收敛性和行列式，求高阶导数在某点的数值方面的应用。关键词：泰勒公式，极限，行列式，高阶导数，不等式，定积分。：0173引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（BrookTaylor），于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。1717年。他以泰勒定理求解数值方程。泰勒的主要着是1715年出版的“正的和反的增量方法”，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内V为独立变量的增量，及为流数。他假定Z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里一牛顿插值公式发展而成的，当x=0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为策分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展开成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物品问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常策分方程的奇异解，曲率问题之研究等。泰勒公式１.泰勒公式已知一个函数，如何把它表示成我们所需要的多项式呢？先考虑多项式函数它具有任意阶连续导数，且当时，．经过简---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---单的计算可知．这个多项式的系数同它的各阶导数之间有如下的关系；"'''()'0123(0)(0)(0)(0),(0),,,......2!3!!nnfffafafaaan．如果把这个多项式按照（x-a）的幂式重新写出来，即，则系数同的各阶导数之间的关系经过计算易知为"'''()'0123()()()(),(),,...2!3!!nnfafafabfabfabbbn．再考虑是一般的函数．设它在a点具有直到n阶的连续导数，这时总可以作出如下的多项式"()'2()()()()()()()......()2!!nnnfafapxfafaxaxaxan．如果已给函数是n次多项式，那末由上面的讨论，与完全相同，因而对的研究可以用对的研究来代替．是用及其各阶导数在x=a点的数值来表示的另一个多项式，称其为多项式的泰勒公式．2.泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于多项式和一个余项的和：xRxxnxfxxxfxxxfxxxffxxfnnnoo003020000!......!3!2其中这里在和之间，该余项称为拉格朗日型的余项。证明：我们知道(根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有)，其中误差a是即的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够精确的且能估计出误差的多项式：nnxAxxAxxAxAPx0202010......来近似地表示函数且要写出其误差的具体表达式。设函数满足，于是可以依次求出，显然，，所以---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---。至此，多项的各项系数多已求出，得：nnxxnxfxxxfxxxffxPx)(!)(......)(!200)(200000.泰勒定理若函数满足如下条件：（１）在闭区间上函数存在直到阶连续导数，（２）在开区间内存在的的阶导数，取，则对任何，且，至少存在一点，使得式（１）证：记，（２）则（１）式可写作或．现记，这两个函数在闭区间（不妨设）上有直到阶连续导函数，在内有阶导数，又由于，，所以在区间上连续运用柯西中值定理次，就有其中从而得...