中国工程热物理学会热机气动热力学学术会议论文编号：092080非均匀时间步长显式龙格库塔积分方法刘黎1，李晓东1，胡方强2（1.北京航空航天大学流体与声学工程实验室，北京100191，中国）（2.奥多米尼大学数学与统计系，弗吉尼亚23529，美国）（Tel:010-82338087，E-mail:lixd@buaa.edu.cn）摘要：显式龙格库塔方法是数值模拟常微分方程解的一类常用单步积分方法，广泛应用于计算流体力学等领域。传统的显式龙格库塔方法要求时间步长全场一致，对于计算流体力学、计算气动声学等研究领域中常常遇到的涉及不规则几何形体的流动或复杂多尺度流动问题的数值模拟，往往导致昂贵的计算资源需求。为了提高数值模拟复杂流动问题的计算效率，本文发展了非均匀时间步长耦合积分方法，使显式龙格库塔格式适用于局部步长积分。文中给出了该耦合方法的一般线性公式，并推广至几种常用显式龙格库塔方法，与间断有限元空间离散和一种有限差分离散相结合的数值验证均表明该方法的有效性和稳定性。关键词：显式龙格库塔积分，非均匀时间步长，计算流体力学0前言龙格库塔方法（Runge-Kuttamethod,RK）是数值模拟常微分方程（OrdinaryDiff-erentialEquations,ODE）解的一类常用单步积分方法，分隐式和显式两种。其中，显式龙格库塔方法由于执行相对简单，精度较高，广泛应用于计算流体力学，计算气动声学和计算电磁学等计算科学领域，如经典4阶RK格式[10]，2阶和3阶的总体变差减小RK格式（TotalVariationDiminishingRunge-Kuttashemes,TVDRK）[8],以及各种基于稳定性范围或频散耗散特性的优化格式[7][9][13]。传统的显式龙格库塔方法要求积分步长均匀，即整个计算域内步长处处相等。对于计算流体力学（ComputationalFluidDynam-ics,CFD）和计算气动声学领域（ComputationalAeroacoustics,CAA）多涉及的具有不规则几何形状或复杂多尺度流动问题的数值模拟，出于计算时间和局部要求高分辨率的考虑，数值模拟往往采用分块的非均匀网格。然而，根据时间稳定性条件（Courant-Fri-edrichs-LewyCondition,CFL），均匀时间步长受最小网格尺寸限制，导致昂贵的计算资源要求，尤其在非定常数值模拟中；这也是数值模拟方法应用于实际复杂工程问题的主要障碍之一。因此，为了解决这一实际应用的难题，我们希望实现非均匀时间步长显式RK推进，即在局部网格块上采用满足局部CFL条件的局部时间步长，从而减少粗网格上积分时间，提高整场计算效率。近五年来，关于局部时间步长推进的研究工作开始出现。Tam等人基于Adams-Bas-hforth型时间积分方法在笛卡尔坐标系下发展了适用于2:1比率的变时间步长时间推进格式，并与高阶有限差分离散相结合进行了验证[11]。此后，Garrec等人将该格式进一步推广至曲线坐标系下[5]。然而，该格式中各点加权系数依赖于时间步长比率，不同比率情况需要重新推导，实际应用存在一定局限。近期，Lin,Jiang&Li提出了一种优化的Hermit差值技术，可直接应用于任意时间步长比率的Adams型积分[3]。Munz等人通过引入Cauchy-Kovalevskaja（CK）方法（通常也被称为Lax-Wendroff时间离散方基金项目：国家自然科学基金（50890181和50676003）资助项目---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---法），在利用时空偏导数的任意高阶格式（ArbitraryhighorderschemesusingDERivatives,ADER）中实现了任意时间步长比率的局部时间推进[14][15]。同样基于CK方法，Gassner等人发展了称为时空展开的间断伽辽金格式（theSpace-TimeExpansionDiscontinuousG-alerkinscheme,STE-DG），也适用于局部步长的时间离散[7][8]。尽管，在线性问题中C-K方法被证明是高效的，对于非线性问题，CK方法必须借助Leibniz广义法则实现，计算量因此增加。最近，本文作者及合作者从一般p阶显式积分形式出发，发展了一种非均匀时间步长显式RK积分的高阶线性耦合方法，并与间断伽辽金有限元方法（DiscontinuousGal-erkinmethod,DG）相结合，进行了必要的数值稳定性分析和数值验证[4]。该方法适用于任意时间比率情况，可方便的推广至各种显式RK格式，因此具有普适性。本文工作在已有基础之...