分数阶微分方程数值解的一种逼近方法By:PankajKumar,OmPrakashAgrawal摘要本文提出了一类分数阶微分方程（FDEs）的数值解方案.在这种方法中,FDEs被Caputo型分数阶导数所表现.Caputo型分数阶导数的属性可以让一个分数阶微分方程减弱为一个Volterra型积分方程.这样做了之后,许多研究Volterra型积分方程的数值方法也可以应用于寻找FDEs的数值解.本文总时间被划分为一组小区间,在两个连续区间中，用二次多项式逼近未知函数.这些近似被替换成转化的Volterra型积分方程由此获得一组方程.这些方程的解提供了FDE的解.这种方法被应用于解决两种类型的FDEs,线性和非线性.用这里给出的方法得到的解能与解析解和其他方法的数值解较好的吻合.同时结果说明这种数值方法是稳定的.1.引言本文讨论分数阶微分方程的数值解.分数阶导数和分数阶积分近年来收到了广泛的关注.在许多实际应用中，分数阶导数和分数阶积分为考虑的系统提供了更加精确地模型.比如，分数阶导数已经被成功地运用到模拟许多粘性材料的依赖频率的阻尼行为.1980年之前，Bagley和Torvik提出了这个领域已经被研究的工作的一个回顾，并且说明了半阶导数模型可以非常好地描述阻尼材料的频率以来.另一些学者说明了分数阶导数和分数阶积分在电化学过程，电解质极化，有色噪声，粘性材料和混沌领域的应用.Mainardi，Rossikhin和Shitikova提出了分数阶导数和分数阶积分在一般固体力学，特定粘弹性阻尼模型中的应用的调查.Magin提出了分数阶微积分在生物工程的三个关键部分的回顾.分数阶导数和分数阶积分在其他领域的应用以及相关的数学工具和技巧还可以在许多其他文献上找到.系统模型中分数阶导数的引进大多会导致分数阶微分方程的出现.对某些特定的分数阶微分方程在通常系统条件下的解，已经有几种方法被找到.这些方法包括，拉普拉斯变换，傅里叶变换，模态综合法和特征向量展开法，数值法以及基于Laguerre积分公式的方法.然而，这些方法中大多数不能被应用到非线性分数阶微分方程.更进一步的，正如Diethelm等人指出的，这些方法很多只能应用到特定类型的分数阶微分方程，并且人们并不知道他们能否被推广.并且，在很多作者的研究成果中，并没有出现系统性的收敛性分析.最近，对于能被应用到线性和非线性分数阶微分方程的数值稳定数值逼近技巧，人们的兴趣愈发浓厚.这些方法技巧大多利用了分数阶微分方程可以被减弱为Volterra型积分方程的特性.因此，Volterra型积分方程的数值解法也可以应用到分数阶微分方程的解当中.Diethelm等人提出了分数阶微分方程数值解的一种PECE方法，其中P,C,E分别代表预测，校正和估计.这样一来很多学者又推广了应用于常微分方程和分数阶微分方程的Adams–Bashforth–Moulton型预测-校正格式.这种方法的提出也是利用分数阶微分方程可以被转化为Volterra型积分方程的特点.这些作者同时提出了误差分析和用Richardson外推法改善数值精度的延伸.Ford和Simpson提出了一种阶数大于1的分数阶微分方程的数值解法.在该公式中，阶大于1的分数阶微分方程被减弱为阶小于1的分数阶微分方程，然后用相应的数值解法解由此导出的系统.在所有这些方法当中，节点之间的未知函数用线性函数逼近.KumarandAgrawal提出了阶数大于1的分数阶微分方程的数值解法.这种方法要求就y(t)和它的导数在时间节点上连续.本文基于古典分数阶微分方程可以转化为Volterra型积分方程的特点也提出了一种数值方法来逼近分数阶微分方程的解.特别地，我们用二次逼近函数来建立这种算法，结果说明这种方法可以被应用到寻求分数阶微分方程的数值解.我们还通过两个例子，线性和非线性问题的解决，说明了这种方法的高效和准确，并且这种数值方法是稳定的.2.数值算法关于分数阶导数的定义已经出现有好几种，它们包括Riemann–Liouville,Grun-wald–Letnikov,Weyl,Caputo,Marchaud,和Riesz分数阶导数.这里，我们规定使用Caputo导数.其中，Caputo导数的定义是,(n-1<α<n),(1)其中，α是导数的阶数，n是比α大的最小的整数.式(1)早在19世纪就在Liouville的论文中被提出，在Caputo的论文发表前一年它被Rabotnov所用.然而，在文献中，被（1）式所定义的分数阶导数作为Ca...