分类号编号毕业论文题目N次单位根的性质及其应用学院姓名xxxxxxx专业数学与应用数学学号研究类型应用研究指导教师xxxxx提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录N次单位根的定义2N次单位根的性质2N次单位根的应用4N次单位根在中学数学竞赛中的应用4N次单位根在因式分解中的应用5N次单位根在几何中的应用7N次单位根在多项式整除中的应用8N次单位根在三角函数中的应用9---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---N次单位根的性质及其应用xxx<XX师范学院数学与统计学院,XXXX741000>摘要:n次单位根是复变函数论中的重要内容,本文主要论述n次单位根的性质,以及在因式分解,几何作图,三角函数,多项式整除中的应用,说明n次单位根可拓宽解题思路,是一种方便快捷的解题方法。.关键词:单位根;因式分解；性质；几何画图:O29---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---N次单位根的定义定义一在复数域上的n个值；k=0,1,2,…,n-1就是多项式的n个根,称它们为n次单位根.定义二在复数域上的n个值=,k=0,1,2,…,n-1就是多项式的n个根,称它们为n次单位根N次单位根的性质〔1=1证明由定义一,得===1〔2令ξ==,则,k=1,2,…,n-1证明由欧拉公式〔,知===,即,k=1,2,…,n-1〔3=〔mk＜n由定义二知===〔4对于每个单位根：1+++…+=0证明因为=〔x-1〔1+x++…+,令x=,则原式可变为,=〔-1〔1+++…+=0---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---当≠0时,≠0,所以1+++…+=0〔5对于每个单位根：1+++…+=n〔当n整除m时1+++…+=0〔当n不整除m时证明由于为n次单位根则=1当n整除m时,令m=nq,则===1同理：==1故1+++…+=1+1+…+1=n当n不整除m时,≠1,由知：1+++…+===0〔6两个n次单位根的乘积与商仍是n次单位根证明令、是n此单位根,则=·=1×1=1===1,命题得证.〔8·=证明由定义二,得---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---·=·===,即·=〔9=〔0＜k＜n；证明因为=+i=—则=+i=+i=+i=+i=-i=N次单位根的应用⑴N次单位根在中学数学竞赛中的应用例1<20XX全国高中数学联赛>若的展开式为+x+…+,求+++…+的值.解：令=+++…+=++…+=++…+---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---在=+x+…+中,令x=1,ξ〔ξ是三次单位根,ξ≠0,则++=⑴=+++…+,即+ξ+ξ=0⑵在⑵中ξ、ξ按实、虚部分别展开,并由复数相等可得－〔+=0⑶·－·=0⑷则由⑴、⑶、⑷得=÷3故+++…+=例2〔1978年我国八省市中学数学竞赛设ξ=+isin,求以ξ、、、为根的方程.解：因为ξ=+isin,则ξ=+所以ξ、、、…、是1的10个10次方根,则〔x－ξ〔x－…〔x－=－1⑴又、、、、是1的5个5次方根,则〔x－〔x－〔x－〔x－=－1⑵由⑴÷⑵,的〔x－ξ〔x－〔x－><x－><x－>=+1又=-1,x－=x+1,---本文于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---所以〔x－ξ〔x－〔x－〔x－==－＋－x+1,即所求方程为,－＋－x+1=0⑵N次单位根在因式分解中的应用例在有理数范围内对－1进行因式分解.解：在复数范围内－1可分解为一次因式的乘积：－1=〔x－1〔x－ξ〔x－…〔x－,其中ξ=+;而1,ξ,,…,是方程－1=0即=1的全体复数根.再将－1的15个复系数一次因式分成若干组,使每一组的乘积是有理系数多项式.－1=0的所有的复数根也就是所有的15次单位根,它们的15次幂都等于1.但其中有些根的更低次幂就已经等于1.事实上,由于1、3、5都是15的因数,满足条件=1或=1或=1的复数z也都满足条件=1,都是－1的根,也就是说1次单位根,3次单位根,5次单位根也都是15次单位根.对于每个15次单位根ξ,存在最小的正整数d,使得=1,我们证明d是15的因子.用d除15得到商q和余数r,则r=15－dq,====1.鉴于d是使=1的最小正整数,而=1且r＜d,这迫使r不是正整数,只能r=0.这证明了...