仿射变换下的区域面积之比缪选民江苏省泰州市海陵区教育局教研室225300：O123.1文献标识码：A：0488-73952007年高考江苏卷出了一道耐人寻味的小题：在平面直角坐标系中，已知平面区域A，且，则平面区域B的面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．这道题貌似线性规划的问题，本质上却是以仿射几何为背景，求一封闭图形区域经过仿射变换后图形区域的面积，本文将对它的解法与拓展作些探讨。1．代点法。考试结束后，一学生告诉我,他是这样解的：A是一个三角形区域，它的三个顶点坐标是O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)，将这三点的坐标代入中得：O’（0,0）、M’（1,1）、N’(1,-1)，画出由O’、M’、N’三点确定的三角形区域B，求得区域B的面积为1，从而选B。这种解法很巧妙，因为给定的变换为仿射变换，其将直线仍变成直线，所以也将OMN围成的区域变成了O’M’N’所围区域。该解法的巧妙之处在于回避了线性规划问题中边界交点问题，直接根据顶点来确定三角形的面积。2．常规解法。令，则，由区域A的条件得，用线性规划的方法不难画出区域B，求得其面积为1，答案选择B。这个问题的实质是将面积为的区域A，经过仿射变换后变成了面积为1的区域B。（如下图）---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---仿射变换BAs=1s-t=0s+t=0x+y=1tOSYOX3．高等数学的解法。如果用高等几何的方法来解答本题，过程非常简单，不必画出区域B。根据定理“两个三角形面积之比是仿射不变量”，仿射变换对应的行列式的绝对值是2，区域A的面积是，，故区域B的面积是1。值得一提的是，近年来，具有高等数学背景的试题日益增多，本题是一个极好的典例。4．两点拓展。从高等几何学的知识可以知道，仿射变换的表达式一旦确定下来，那么变换后的区域B的面积与变换前的区域A的面积之比就确定了。在本题中，区域A的面积是固定的，区域B的面积完全取决于什么样的仿射变换。由这一结论，我们根据高考题的模式作如下拓展：拓展一：在平面直角坐标系中，已知平面区域A，且，求平面区域E（的面积。它的高等几何解法为：仿射变换对应的行列式绝对值为=，区域A的面积是，故区域E的面积为，这是高考题的一般结论。它的初等解法涉及烦琐的字母运算，所以我们借用行列式来求解。假设三角形区域A的三个顶点为，则区域A的面积为A=---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---=，经过仿射变换后，三个顶点为，，根据仿射变换不改变区域A的形状，区域E的面积为：E=====。拓展二：在仿射变换下，区域A不限于三角形（江苏卷中的高考题只是三角形中的简单情形，三个顶点非常特殊，且仿射变换中的均等于0），对于四边形及一般封闭图形，“”，结论仍成立，变换前后的区域面积之比只与有关。利用仿射变换的这一性质，可以方便地求出椭圆的面积。设区域A，则---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---区域B是一个以原点为圆心，为半径的圆，由于仿射变换对应的行列式绝对值，所以，圆的面积（区域B）是，从而椭圆的面积（区域A）。5．一点说明。上面的“代点法”仅适用于给出的变换是仿射变换的情形，如果不是仿射变换就不能用“代点法”。如：在平面直角坐标系中，已知平面区域A，且，则平面区域B的面积是。在这个问题中，区域A的三个顶点O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)经过变换后分别变成了（0,0）、（1,0）、（0,1），但区域B不是这三点所确定的三角形，因而不能用三角形的面积公式求解，它是位于第一象限的星形线和两坐标轴所围成的曲边三角形区域（如图），可表示为B，其面积要用积分法求得：S=。---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---xyo(1,0)(0,1)