Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系张君贤指导教师：王汝军(河西学院数学与应用数学专业2010届4班43号,甘肃张掖734000)摘要积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系，都曾在数学的发展史上发挥过巨大的作用.本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系.关键词黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系O174.1ConnectionandDinstinctionbetweenRiemannIntegralandLebesgueIntegralZhangJunxianInstructor:WangRujun(N.O.43,Class4of2006.SpecialtyofmathematicsandAppliedmathematics,DepartmentofMathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000,China)Abstract;Integrationistheanalysisofmathematicsofthemostbasicconcepts,RiemannintegralandLebesgueintegralaretwoveryimportantIntegration,boththedinstinctionbetweenthemandconnection,Thenhavemathematicsonthedevelopmentofalarge.ThepaperMainlythroughthedefinitionofRiemannintegralandLebesgueintegralanalysisandcomparison,havesummarizedthedinstinctionandconnectionbetweenthetwo.KeyWords:Riemannintegral;Lebesgueintegral;connection;dinstinction.1引言积分是整个分析数学中最基本的概念，现有的积分有两种形式：一种是作为近代数学核心的黎曼积分(下文简称积分)，一种是作为现代实变函数论核心的勒贝格积分（下文简称积分），这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别.仅从函数的范围来看，积分要比积分广泛的多.随着微积分学的发展，人们在利用积分时，逐渐感觉到它有很大的局限性，主要表现在以下两个方面：（1）积分与极限可交换的条件太严.我们知道一列黎曼可积函数（即使有界）不一定保持可积性.因此在积分与极限交换问题上，积分的局限性就特别突出，大家知道，为了使对一列收敛的可积函数能成立，当然要求是可积的.对加上一致收敛的条件可以保证极限函数可积，同时也保证了上面等式的成立，可是这一充分条件不但非常苛刻而且检验起来也不方便.由于积分与极限交换问题不能顺利解决，就大大降低了积分的效果.---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---（2）积分运算不完全是微分运算的逆运算我们知道任一可积函数的活动上限积分在的所有连续点都有，换言之，就是积分后再微分可以还原（的不连续点既成零集，可不计）.但是另一方面有例子说明，一个可微函数的导函数即使有界也不一定可积（Volterra的例），因此也就说不上有.公式所以在积分的范围内，积分运算只是部分地成为微分运算之逆.然而积分在很大程度上摆脱了上述积分的困境，大大扩充了可积函数的范围，下面就从这两种积分的定义出发，探讨他们的区别与联系.2积分的定义2.1R积分的定义[2]:设是定义在上的有界函数，任取一分点组T将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,….作和令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为2.2勒贝格积分的定义[3]:设是一个勒贝格可测集，，是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组记---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---并任取（我们约定，当时，），作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的.前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅较小，但一般不再是区间，而是可测集.其度量的值一般不易给出.对定义域与对值域的分割是积分与积分的本质区别，对值域进行分割求积分的方法使中的点分成几大类，更简单明了.另外，积分理论是在测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不...