关于中国邮递员问题和欧拉图应用中国邮递员问题：1962年有管梅谷先生提出中国邮递员问题（简称CPP）。一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。任何选择一条尽可能短的路线。这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图G，（1）用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*，使得尽可能小。（2）求G*的Euler环游。人们也开始关注另一类似问题，旅行商问题（简称TSP）。TSP是点路优化问题，它是NPC的。而CPP是弧路优化问题，该问题有几种变形，与加权图奇点的最小完全匹配或网络流等价，有多项式算法。[1]欧拉图：图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。存在欧拉回路的图称为欧拉图。无向图欧拉图判定：无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。有向图欧拉图判定：有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图[2]连通，且所有顶点的入度等于出度。欧拉回路性质：性质1设C是欧拉图G中的一个简单回路，将C中的边从图G中删去得到一个新的图G’，则G’的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。性质2设C1、C2是图G的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们可以将它们合并成一个新的简单回路C’。---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---欧拉回路算法：1在图G中任意找一个回路C；2将图G中属于回路C的边删除；3在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路；4将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。由于该算法执行过程中每条边最多访问两次，因此该算法的时间复杂度为O(|E|)。如果使用递归形式，得注意|E|的问题。使用非递归形式防止栈溢出。如果图是有向图，我们仍然可以使用以上算法。acm.hdu.edu/showproblem.php?pid=1116有向图欧拉图和半欧拉图判定acm.pku.edu/JudgeOnline/problem?id=2337输出路径中国邮递员问题①：一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值。任何选择一条尽可能短的路线。分析：双向连通，即给定无向图G。如果G不连通，则无解。如果G是欧拉图，则显然欧拉回路就是最优路线。如果G连通，但不是欧拉图，说明图中有奇点[3]。奇点都是成对出现的，证明从略。对于最简单情况，即2个奇点，设（u，v）。我们可以在G中对（u，v）求最短路径R，构造出新图G’=G∪R。此时G’就是欧拉图。证明：u和v加上了一条边，度加一，改变了奇偶性。而R中其他点度加二，奇偶性不变。由此可知，加一次R，能够减少两个奇点。推广到k个奇点的情况，加k/2个R就能使度全为偶数。---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---接下的问题是求一个k个奇点的配对方案，使得k/2个路径总长度最小。这个就是无向完全图最小权匹配问题。有一种Edmonds算法，时间复杂度O（N^3）。[4]也可转换为二分图，用松弛优化的KM算法，时间复杂度也是O（N^3）。完整的算法流程如下：1如果G是连通图，转2，否则返回无解并结束；2检查G中的奇点，构成图H的顶点集；3求出G中每对奇点之间的最短路径长度，作为图H对应顶点间的边权；4对H进行最小权匹配；5把最小权匹配里的每一条匹配边代表的路径，加入到图G中得到图G’；6在G’中求欧拉回路，即所求的最优路线。中国邮递员问题②：和①相似，只是所有街道都是单向通行的。分析：单向连通，即给定有向图G。和①的分析一样，我们来讨论如何从G转换为欧拉图G’。首先计算每个顶点v的入度与出度之差d’（v）。如果G中所有的v都有d’（v）=0，那么G中已经存在欧拉回路。d’（v）>0说明得加上出度。d’（v）<0说明得加上入度。而当d’（v）=0，则不能做任何新增路径的端点。可以看出这个模型很像网络流模型。---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---顶点d’（v）>0对应于网络流模型中的源点，它发出d’（v）个单位的流；顶点d’（v）<0对应于网络流模型中的汇点，它接收-d’（v）个单位的流；而d’（v）=0的顶点，则对应于网络流模型中的中间结点，它接收的流量...