回归教材共顶点的等腰三角形教材母题►(教材P83页第12题)如图，△ABD和△ACE都是等边三角形．(导学号：58024217)(1)求证：BE＝CD；(2)求∠BFC的度数；(3)求证：FA平分∠DFE；(4)求证：AF＋BF＝DF.【解题过程】解：(1)证△AEB≌△ACD；(2)由(1)得∠ADC＝∠ABE,∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝∠BDF＋∠DBA＋∠ABE＝∠DBA＋∠BDF＋∠ADC＝120°；矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。(3)证明：过点A分别作BE，DC的垂线段AM，AN，垂足分别为M，N，由(1)知△ABE≌△ACD，所以S△AEB＝S△ACD，所以AM＝AN，所以FA平方∠DFE；聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。(4)证明：由(3)得NF＝MF,∠AFM＝∠DFE＝∠BFC＝60°，所以NF＝MF＝AF，AF＋BF＝BM＋NF＝DN＋NF＝DF.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。一、共顶点的等边三角形【变式训练1】如图，△ABC和△CDE都为等边三角形，E在BC上，AE的延长线交BD于F.(导学号：58024218)酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。(1)求证：AE＝BD；(2)求∠AFB的度数．(3)求证：CF平分∠AFD；(4)直接写出EF，DF，CF之间的数量关系．【解题过程】解：(1)即证△CAE≌△CBD即可．(2)证∠CAE＝∠CBD，故∠AFB＝∠ACB＝60°.(3)作CM⊥AF于M，作CN⊥DF于N，证△CAM≌△CBN，CM＝CN即可；(4)EF＋DF＝CF，用截长补短法可证．二、共顶点的等腰三角形【变式训练2】如图，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝α，CE的延长线交BD于F.(导学号：58024219)彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。(1)求证：BD＝CE；(2)求∠DFC的度数(用含α的式子表示)．【解题过程】解：(1)证△BDA≌△CEA即可．(2)证∠BFC＝∠BAC＝α，∴∠DFC＝180°－α.三、共顶点的等腰直角三角形【变式训练3】(2017·武汉六中月考改编)如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，D，C，B在一条直线上，F，G分别是BE，AD的中点．(导学号：58024220)謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。(1)求证：BE＝AD；(2)求∠CFG的度数．【解题过程】证明：(1)证△CBE≌△CAD.(2)连接CG，证△ACG≌△BCF，△CGF为等腰直角三角形，∴∠CFG＝45°.