2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点8函数的概念和图象教材知识梳理函数的概念概念给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数对应关系y＝f(x)，x∈A对应关系相同，定义域相同的两个函数就是同一个函数定义域集合A(自变量x的取值范围)值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．函数的图象函数图象的含义将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．常见函数的定义域和值域1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为，当a<0时，值域为.3．反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}．求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域例题研究一、求函数值或值域题型探究例题1若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围【详解】解：，当时，在上单调递增，例所以，此时，当时，由，当且仅当，即时取等号，因为在上单调递增，若的值域为，则有，即，则，综上，，所以实数的取值范围为故选：A【点睛】考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为，然后分和讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题例题2函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先对函数分离常数化简，即可求出值域.【详解】，因为，所以，所以，所以函数的值域是.故答案为：A【点睛】考查值域的求法，解题的关键是先分离常数，属于常规题型.跟踪训练训练1设，，其中为实数，则下列命题中，正确的是（）A．若函数的值域为，则.B．若函数的值域为，则.C．存在实数且，使函数的值域为.D．存在实数且，使函数的值域为.【答案】D【分析】取，可得的值域为，可判断A错误，D正确；取，可得的值域为，可判断B错误；根据的函数值不可能无限小，可判断C错误.【详解】对于A，取，，，则，可得的值域为，故不满足，故A错误，同时也说明D正确；对于B，取，，，，可得的值域为，故不满足，故B错误；对于C，当或时，的最小值是，当，的取值在和之间，则可得的函数值不可能无限小，即不可能为，故C错误.故选：D.【点睛】考查含有参数的复合函数的值域问题，其中涉及分段函数，解决本题的关键是选取有代表性的特殊值，根据特殊值时的值域判断，这也是解决多数问题的有效方法.训练2函数f(x)＝的值域为()A．[－,]B．[－,0]C．[0,1]D．[0,]【答案】C【解析】令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.点睛：考查利用三角代换、直线的...