kk不定四元欧氏空间中的拉格朗日H2脐子流形张亮亮(复旦大学数学科学学院,上海200433)摘要:定义了不定四元欧氏空间Qn以及其中的不定拉格朗日H2脐子流形,并且给出了它们的完全分类定理,从而推广了陈邦彦,Oh和Kang的结果.关键词:拉格朗日H2脐子流形;复欧氏空间形式;不定度量;四元欧氏空间形式:O186.12文献标识码:A黎曼流形的拉格朗日子流形在辛几何和现代数学物理研究中占有特殊的地位.对于具有良好性质外围空间中的拉格朗日子流形的研究一向是人们的兴趣所在.其中我们最感兴趣的是外围空间为复空间形式的情形.对于复空间形式中拉格朗日子流形的研究已有了丰富的结论1.我们知道在欧氏空间中最简单的超曲面是全测地的超曲面,其次是全脐超曲面.在复空间形式中最简单的拉格朗日子流形也是全测地的,其次也应该是全脐的拉格朗日子流形.然而在文献2中,证明了在n≥3的复空间形式中,拉格朗日全脐子流形与拉格朗日全测地子流形是等价的.因此在空间形式中寻找除了拉格朗日全测地子流形以外最简单的拉格朗日子流形成为了一个很自然的问题.为此陈邦彦3引入了H2脐子流形的概念,其第二基本形式具有某种特殊的形式.他不仅构造了一些拉格朗日H2脐子流形的具体例子,还给出了复欧氏空间中拉格朗日H2脐子流形的完全分类.此外,他还把结论推广到了不定复欧氏空间Cn中不定H2脐子流形Mnkk的情况,并且通过伪球和伪双曲空间的复扩张子给出了其分类4.Oh和Kang3把正定情况下的结果推广到了四元的情形,并对四元欧氏空间形式中的拉格朗日H2脐子流形给出了完全分类定理5.物理学家感兴趣的往往是配有不定度量的伪黎曼流形,对于这种度量非正定的流形也有相应的联络,以及第二基本形式和空间形式等概念,这种流形与通常的黎曼流形具有不同的几何性质.在本文中,我们定义了不定四元欧氏空间形式以及不定四元扩张子,并且给出了在不定四元欧氏空间中拉格朗日H2脐子流形的完全分类,从而推广了上述作者得到的结果.1准备知识下面引入四元空间形式的概念.设Qn是四元欧式空间:Qn={(q1,q2,,qn)qk是四元数},单位四元数i,j,k的自然乘法诱导了Qn∆R4n上的3个标准复结构I,J,K,这3个复结构满足IJ=-激=K,JK=-KJ=I,KI=-IK=J,I2=J2=K2=-1.赋予Qn上指标为l的不定度量g,使得g(φX,φY)=g(X,Y),φ=I,J,K,那么(g,φ),φ=I,J,K构成一个伪Hermite结构,易见l=4k,以后记此不定度量为gn.设M为一个不定指数为k的n维伪黎曼流形,Qn为配有不定度量gn的四元欧式空间,并且(1)kkL∶MnQnkk收稿日期:2006205211kkk是一个浸入.设X为TMk上的一个切向量,那么{X,IX,JX,KX}为Mk上的一个正交标架场.记Q(X)=Span{X,φX}.对于TMk上的2个切向量X,Y,如果Q(X)正交于Q(Y),则称X,Y张成的平面π(X,Y)为一个全实平面.Q(X)中任何一个二维平面都称作一个四元平面.如果L3将TMk上的任何一个二维平面映到TQn上的一个全实平面,那么L称为拉格朗日浸入.TMk中的切向量X称为类空、类时或类光的,如果〈X,X〉>0〈,X,X〉<0或〈X,X〉=0.令和分别是Mn和Qn上的Levi2Civita联络,那么高斯方程和Weingarten方程分别为:kkY=Y+h(X,Y),Y=-AξX+DXξ,(2)其中X,Y是TMk上的切向量ξ,为T⊥Mk中的法向量,h,A,D分别为第二基本形式,Weingarten变换和法从联络.对于任何的Y∈TxMk,AφY都是TxMk上的自同构,并且第二基本形式满足〈h(X,Y),ξ〉=〈AξX,Y〉,〈h(X,Y),ξ〉=〈AξY,X〉.(3)特别地,对于拉格朗日子流形L来说,我们有DXφY=φY,AφYX=-φh(X,Y)=AφXY,(4)〈h(X,Y),Z〉=〈h(Y,Z),X〉=〈h(Z,X),Y〉.在文献5中,Oh和Kang说明了四元欧氏空间形式中拉格朗日全脐子流形和拉格朗日全测地子流形是等价的,类似的结论对于不定四元欧氏空间也成立.下面我们定义不定四元欧氏空间形式中的不定拉格朗日H2脐子流形.设L为等距浸入:L∶MnQn(4c),kk如果其第二基本形式h满足:h(e1,e1)=λ1Ie1+λ2Je2+λ3Ke1,h(ej,ej)=δt(μ1Ie1+μ2Je2+μ3Ke1)δt=±1,h(e1,ej)=μ1Iej+μ2Jej+μ3Kej,h(e1,ej)=0j≠k=2,3,,n,(5)其中λ1,λ2,λ3,μ1,μ2,μ3为某个函数,则称L为H2脐子流形.Mk的平均曲率向量H为:H=H1+H2+λi+(n-1)μiH3,这里H1=γ1Ie1,H2=γ2Je1,H3=γ3Ke1,并且γi=〈h(Z,Y),<X〉..显然,h满足〈h(X,Y),<Z〉=n类似文献5中的结论,...