课时分层作业(二十)奇偶性的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是()A．f(x)＝－x2＋2x－3B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3D．f(x)＝－x2－2x＋3B[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)C[ 函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又 f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.]3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．[1，＋∞)A[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．]4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是()A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是－7C[根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.]5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是()A.B.C.D.A[由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒<x<，故选A.]二、填空题6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.＋1[ f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝＋1，即x＜0时，f(x)＝＋1.]7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2019，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．2019[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2019，故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2019.]8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．f(－2)<f(1)<f(0)[当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．]三、解答题9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.[解] f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)<f(2x－1)．又 f(x)在(－1,1)上是减函数，∴解得0<x<，∴原不等式的解集为.10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．[解]F(x)在(－∞，0)上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0.因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，①又因为f(x)是奇函数，所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝>0，即F(x1)>F(x2)，所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数．[等级过关练]1．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是()A．y＝|x|B．y＝1－xC．y＝D．y＝－x2＋4A[选项B中，函数不具备奇偶性；选项C中，函数是奇函数；选项A，D中的函数是偶函数，但函数y＝－x2＋4在区间(0,1)上单调递减．故选A.]2．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有()A．最大值－B．最大值C．最小值－D．最小值B[法一(奇函数的图象特征)：当x<0时，f(x)＝x2＋x＝2－，所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值.法二(直接法)：...