杜聪慧徐慧张瑞亭(北京工商大学嘉华学院北京101118)摘要:数学知识在经济中的应用应该引起进一步的重视和探讨,这是市场经济发展的根本要求,也是企业追求长期经济效益必不可少的有力工具。本文根据数学与经济学之间的密切关系,论述了高等数学在经济领域的一些应用。关键词:导数微分经济高等数学:G71文献标识码:A:1672-3791(2009)01(b)-0208-02随着数学手段的丰富和经济问题的多样化,管理定量分析越来越广泛地被应用,从而使高等数学知识在经济管理中也得到更广泛应用。下面就高等数学的有关知识在经济领域的应用做如下探讨。小时,则由微分的应用可知y的近似值为:。因此设函数y=f(x)在x点处可导,则称函数f′(x)为f(x)的边际函数,f′(x)在x=x处的函数值f′(x)为f(x)00的边际函数值。1导数与弹性理论“弹性”是物理学中广泛应用的概念,意指一物体对外界作用力的反应能力。在经济分析中,也普遍使用这个概念,是用于描述因变量(一个经济变量)对自变量(另一个经济变量)变化反应敏感程度。弹性作为一种数量分析方法,它与导数紧密相连。对一元函数当函数为总成本函数时,其导数就是边际成本,边际成本可理解为当生产q个单位产品前最后增加的那个单位产量所花费的成本或生产q个单位产品后增加的那个单位产量所花费的成本;当函数为总收益函数时,其导数就是边际收益,边际收益可理解为当销售q个单位时,多销售1个单位产品或少销售1个单位产品使其增加或减少的收益;还有,边际利润等也可作类似的处理。图1为:,于是,在价格p处,其相应需求量为x,并记C(x)为总成本函数,社会福利函数W(x)便可表示为:,则:这样,在社会福利最大化原则下,可得在处,达到最大值的充分条件为:y=f(x),其导数意义为,弹性意义为:,二者虽然都反映3导数与经济领域中的最优化问题利用导数求函数的最大(小)值与经济生活的最优化问题有密切联系,它可用来分析社会经济中诸如生产者和销售者的最大经济效益、资源的合理利用、费用的节省等一系列问题。而解决这类实际问题首先是如何将它转化为数学问题,再利用导数知识去分析它、解决它。如在分析收入最大化与利润最大化时,若价格不变,最大的产量导致最大收入,但收入最大时的产量不一定就能产生最大的利润。当产量为何值时才能取得最大利润,则可通过运用导数知识的优化解决。再如,费用的节省,是经济生活中常见的问题,无论是生产者,还是销售者,总想以最小的资金和劳动消耗去获得最大的效益。怎样在条件允许的范围内做到费用最省,也可应用导数知识来解决这类问题。了y的变化对x的变化或依存关系,但导数反映了x,y的值各变化了多少,与原在x,y的基值无关,而弹性反应了x,y各自变化的增减率,这与x,y的基值有关。如果说导数是y关于x的绝对的瞬间变化率(即绝对量的变化),则弹性就是y关于x的相对的瞬间变化率。可见,弹性是就两个变量而言的,它是研究两个变量之间相互联系和相互影响的,比较客观地反映了一个经济量改变所引起的反映的敏感程度。它是一个与被衡量对象计量单位无关的数。正因为如此,弹性可以单独作为一种定量分析法而存在。弹性分析是相关分析与动态分析相结合的一种统计方法,在相互联系这样就得到了经济学中著名的边际成本定价法则——若在价格曲线与边际成本曲线交点处,或者边际成本曲线的斜率大于零、或者边际成本曲线的坡度比价格曲线的坡度更平缓,这两者之一发生时,这个交点的纵坐标p*便是最优定价。5微分方程与经济增长模型以建立在市场经济下价格变动模型问题为例,来说明二阶线性常系数微分方程求解公式应用。具体问题:建立一个价格随时间演变,以阻尼振荡方式逐渐趋于理性的商品供需平衡价格模型,描绘在健全的市场经济框架下,商品价格受市场机制调节,偏高或偏低的价格将会自动趋于平衡。(说明:“商品价格变化的两大特点”:平衡价格应是商品供需平衡的价位;趋于过程应具有惯性特征,呈现阻尼震荡过程特征。)建模假设:(1)商品需求D(t)随价格p(t)的增大而下降。假定它们之间的关2导数与边际理论在经济管理问题中,常常会用到变化率这一基本概念,作为变化率又分为平均变化率和瞬时变化率。所谓平均变化率就是函数增量与自变量增量之比,如经常遇到的年产量的平均变化率,成本的平均变化率和...