程数学——积分变换全套配套课件第4版张元林课后习题讲解12

1-21.求矩形脉冲函数的Fourier变换.解:2.设是函数的Fourier变换,证明与有相同的奇偶性.证明:与是一个Fourier变换对,即,如果为奇函数,即,则(令)(换积分变量为)所以亦为奇函数.如果为奇函数,即,则(令)(换积分变量为)所以亦为奇函数.同理可证与同为偶函数.4.求函数的Fourier正弦变换,并推证解:由Fourier正弦变换公式,有由Fourier正弦逆变换公式,有由此,当时,可得5.设,试证明:1)为实值函数的充要条件是;2)为虚值函数的充要条件是.证明:在一般情况下,记其中和均为的实值函数,且分别为的实部与虚部.因此其中,1)若为的实值函数,即.此时,式和式分别为所以反之,若已知,则有此即表明的实部是关于的偶函数;的虚部是关于的奇函数.因此,必定有亦即表明为的实值函数.从而结论1)获证.2)若为的虚值函数,即.此时,式和式分别为所以反之,若已知,则有此即表明的实部是关于的奇函数;的虚部是关于的偶函数.因此,必定有,亦即表明为的虚值函数.从而结论2)获证.6.已知某函数的Fourier变换,求该函数.解:为连续的偶函数,由公式有但由于当时当时当时,所以得7.已知某函数的Fourier变换为,求该函数.解:由函数,易知8.求符号函数(又称正负号函数)的Fourier变换.解:容易看出,而9.求函数的Fourier变换.解:.10.求函数的Fourier变换.解:已知由有11.求函数的Fourier变换.解:已知,由即得12.求函数的Fourier变换.解:由于故.14.证明:若,其中为一实数,则其中为的共轭函数.证明:因为同理可证另一等式.17.求作如图的锯齿形波的频谱图.(图形见教科书).解:

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