浅谈二项式定理及其应用欧阳志强（伊犁师范学院数学与统计学院09-2A班新疆伊宁835000）摘要：二项式定理是初等数学中的一个重要的定理,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础．本文主要讨论了二项式定理在解决组合理论、开高次方，以及不等式问题等方面的应用．关键词：二项式定理；不等式；展开式中图分类号：O122.4文献标识码：A一引言二项式定理的应用非常广泛,也很重要,主要表现在两个方面:一是它所揭示的方法富有启发性;二是它与高等数学联系紧密.学习与掌握它,既有利于培养学生联想和抽象思维的能力,也有利于其今后进一步的学习.二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创.它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中.在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”.因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果.杨辉-贾宪三角而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前夕，牛顿就开始了二项式定理的研究，值得注意的是，牛顿只处理了二项式的自乘幂是分数或负数的情况.牛顿第一次提到二项式定理是在1676年6月13日他写给奥尔登堡转给莱布尼兹的一封信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜想和证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃了他以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单最直接的方法来使用.随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用，直到今天，二项式定理已经是中学数学内容的重要部分，也是当今高考的难点之一.二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂的问题时常常考虑到的一个重要公式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数学分支中都可见其踪影.二预备知识二项式定理：11()nnnrnrrnnnabaCabCabb……(,nN.理解二项式定理应注意：（1）二项式中，是第一项，是第二项，顺序不能变；（2）展开式中有项(比指数多1)；（3）是二项式系数；（4）的指数降幂，的指数是升幂，两者的指数的和等于；（5）二项式展开时要注意各项的符号规律；（6）注意二项式定理的可逆性.二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质：性质一的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即.性质二二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，.性质三的二项展开式中，所有二项式系数的和等于，即（令即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）.性质四的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即（令即得）.性质五的二项展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）了解了二项式定理的特点与性质的同时，也要学会如何合理的应用二项式定理，下面则介绍一些二项式定理在高中数学题中的应用.三二项式定理的应用3.1二项式定理可计算展开式问题3.1.1二项式定理可计算展开式中的系数例1的展开式中的系数为.（2011年高考天津卷理科5）A.B.C.D.解：因为，所以的系数为.例2在56(1)(1)xx的展开式中，含3x的项的系数是（）.（2005年浙江卷）A.74B.121C.-74D.121解：由等比数列求和公式得：原式54591111111xxxxxx.要求展开式中3x的项的系数.即求1x5中的4x的系数与1x9中4x的系数的差.而1x5中含4x的项为，1x9中含4x的项为，所以在5(1)(1xx的展开式中，含3x的项的系数是5-126=-121.例3设，则.（2011年高考安徽卷理科12）解：因为，则，，，，，，故，又因为，所以.例4（1）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为；（2012高考真题全国卷理15）（2）求的展开式中各项的二项式系数和及各项系数和.解：（1）因为展开式中的第3项和第7项的...