课后训练1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()．A．10B．15C．25D．502．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是则总利润最大时，每年的产量是()．A．100B．150C．200D．3003．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()．A．cmB．cmC．cmD．cm4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()．A．B．C．D．5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．8．如图，在直线y＝0和y＝a(a＞0)之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往，家住A(0，a)的某学生在位于公路上B(d,0)(d＞0)处的学校就读，每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校，已知船速为v0(v0＞0)，车速为2v0(水流速度忽略不计)．(1)若d＝2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；(2)若，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．参考答案1.答案：C2.答案：D由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝则令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．3.答案：D设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得，(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取最大值．4.答案：C设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x＞0)，S′＝(x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点.5.答案：6cm3cm4cm设底面两邻边的长分别为xcm，2xcm，高为ycm，则72＝2x2·y，所以，所以表面积S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋.则S′＝8x－，令S′＝0，得x＝3.所以长为6cm，宽为3cm，高为4cm时表面积最小．6.答案：如图，设∠OBC＝θ，则0＜θ＜，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.∴S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθcosθ.令S△ABC′＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0.得cos2θ＝sinθ.又0＜θ＜，∴θ＝，∴当θ＝时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝时面积最大．7.答案：分析：设矩形一边长为xm，从而得到总造价关于边长x的函数关系式，由实际问题求定义域，在定义域的限制条件下求最值．解：设矩形污水处理池的长为xm，宽为m，据题意解得≤x≤16，y＝×400＋×248＋200×80＝800x＋＋16000(≤x≤16)，令y′＝800－＝0，得x＝18，当x(0,18)时，函数为减函数；当x(18，＋∞)时，函数为增函数．因此在定义域内函数为减函数，当且仅当长为16m，宽为12.5m时，总造价y最低，为45000元．8.答案：分析：首先要选取适当的变量，表示出从家到达学校所用的时间，通过求该函数的导数，进而求出函数的最小值．解：(1)设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的某一点P(x,0)(0≤x≤d)，再乘公交车到学校，所用的时间为t，则t＝f(x)＝(0≤x≤d)，∴f′(x)＝＝.令f′(x)＝0，得.当0≤x＜时，f′(x)＜0；当＜x≤d时，f′(x)＞0.∴当时，所用的时间最短，最短时间为.当d＝2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间为.(2)由(1)的讨论可知，当时，t＝f(x)在上是减函数，所以当时，该学生直接乘船渡河到达学校上学，所用的时间最短，最短时间为t＝＝.