第三节等比数列及其前n项和突破点一等比数列的基本运算1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×二、填空题1．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.答案：2．各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为________．答案：23．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．答案：44．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于________．答案：n－11．已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项和S5＝()A.B．31C.D．以上都不正确解析：选B设{an}的公比为q，则q>0且q≠1.由已知得a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，则a1＝1，所以S5＝＝＝31.2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.1．(2019·豫北重点中学联考)数列{an}满足a4＝27，an＋1＝－3an(n∈N*)，则a1＝()A．1B．3C．－1D．－3解析：选C由题意知数列{an}是以－3为公比的等比数列，∴a4＝a1(－3)3＝27，∴a1＝＝－1.故选C.2．(2019·绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.B．C.D．解析：选B设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.3．(2019·兰州诊断性测试)设数列{an＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3＝7，a7＝127.(1)求a5的值；(2)求数列{an}的前n项和．解：(1)由题可知a3＋1＝8，a7＋1＝128，则有(a5＋1)2＝(a3＋1)(a7＋1)＝8×128＝1024，可得a5＋1＝32，即a5＝31.(2)设数列{an＋1}的公比为q，由(1)知得所以数列{an＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1，利用分组求和可得，数列{an}的前n项和Sn＝－n＝2n＋1－2－n.突破点二等比数列的性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.(5)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝________.答案：42．(2019·长春...