考点17立体几何中的计算问题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．【答案】【解析】圆锥的高为h＝＝2，圆锥的体积V＝×π×12×2＝.2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．【答案】【解析】先求出圆锥的底面半径和高．设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以h＝.圆锥的体积V＝Sh＝.3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2cm的正三角形，则该圆锥的体积为________cm3.【答案】π【解析】圆锥的底面半径R＝1，高h＝＝，故圆锥的体积为V＝×π×12×＝π.4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3.【答案】54【解析】由题意知，正四棱柱的高为＝6，所以它的体积V＝32×6＝54，故答案为54.5、(2019南京学情调研）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1B1C1CB的体积是________．【答案】2【解析】如图，取B1C1的中点E，连结A1E，易证A1E⊥平面BB1C1C，所以A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，所以V四棱锥A1B1C1CB＝S矩形BB1C1C×A1E＝×(2×3)×＝2.6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为．【答案】【解析】设圆锥的高为，母线为，由得，，即，，故该圆锥的体积为.7、(2017无锡期末）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________．【答案】π【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则解得故h＝＝2，所以圆锥的体积V＝×πr2×h＝×π×12×2＝π.解后反思解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中各个元素和几何体中元素的对应关系．8、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是________．【答案】8【解析】因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝2，从而三棱锥AA1EF的体积VAA1EF＝VEA1AF＝S△A1AF·BH＝××6×4×2＝8.解题反思一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解．9、（2016无锡期末）如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．【答案】【解析】思路分析在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1)利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2)利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算．解法1因为VO⊥平面AOB，OA⊂平面AOB，所以VO⊥OA，同理VO⊥OB，又因为OA⊥OB，OA＝VO＝OB＝1，所以VA＝VB＝AB＝，所以S△VAB＝VA×ABsin60°＝.设O到平面VAB的距离为h，由VVAOB＝VOVAB，得S△AOB×VO＝S△VAB×h，得OA×OB×VO＝h，解得h＝.解法2取AB中点M，连结VM，过点O作OH⊥VM于H.因为OA＝OB，M是AB中点，所以OM⊥AB，因为VO⊥平面AOB，AB⊂平面AOB，所以VO⊥AB，又因为OM⊥AB，VO∩OM＝O，所以AB⊥平面VOM，又因为AB⊂平面VAB，所以面VAB⊥平面VOM，又因为OH⊥VM，OH⊂平面VOM，平面VAB∩平面VOM＝VH，所以OH⊥平面VAB，所以OH为点O到平面VAB的距离，且OH＝＝.【问题探究，变式训练】题型一柱、锥的面积与体积知识点拨：求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高(即找线面垂直)，常见的空间几何体体积的求法有：作高法、转换顶点法、割补法.例1、(2019南京、盐城一模）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为________．【答案】【解析】VBEFC＝VFBEC＝VPBEC＝·(·S△BEC·PA)＝×××4＝.【变式1】(2019泰州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是________．【答案】【解...