1997年8月Aug.1997JournalofNanjingUniversityofAeronautics&Astronautics一个时限信号采样定理及其Ξ在数据压缩中的应用林从容谢求成(南京航空航天大学无人机所南京,210016)摘要证明了一个时限信号采样定理,该定理指出:(1)对于一个带限信号,如果样点按照N阶Chebyshev多项式的零点位置分布,则可在有限的时间长度之内获得信号的近似最佳一致逼近。在采样密度大于Nyquist率2.135倍的条件下,截断误差的上界随着样点个数的增加呈指数衰减;(2)若用Chebyshev多项式的线性组合形式进行内插,内插过程稳定。将此结果用于数据压缩可得到一种结合非均匀采样的DCT方法。计算结果表明:同常用的离散余弦变换(DCT)结果相比,在相同的样点个数以及相同的压缩比的条件下,该方法具有更高的信号重构精度。关键词:数值计算;数据压缩;采样定理;离散余弦变换(DCT);一致逼近中图分类号:TN911.21;O174.21时限信号采样定理所研究的是在有限的时间长度内如何对信号进行采样和恢复的问题。一般人们研究的是在均匀采样方式下对信号进行恢复的问题1-3。对非均匀采样方式研究得并不充分。这主要是因为均匀采样方式比较成熟,实现起来比较容易。但是存在的问题是:(1)它不能将截断误差的上界降到最小;(2)随着样点个数的增加,这一误差上界的衰减速度并不快4。为了获得较高的恢复精度往往需要进行过高倍数的超倍采样。根据数值分析理论中的有关结论,在样点个数相同的条件下,样点位置的分布情况对信号的截断误差有着较大的影响。Chebyshev定理指出,如果根据Chebyshev交错点组选取样点,可以获得信号的最佳一致逼近,也就是说可以使得截断误差上界最小。但是对于带限信号,此采样方式如何实现,信号的恢复方式如何,截断误差的上界以何种方式衰减,传统的插值理论并没有对上述问题进行回答。本文所提出的采样定理解决了上述问题,将该定理用于数据压缩,可以得到一种高精度的结合非均匀采样的DCT法。Ξ航空科学基金资助项目(No.95F52055)。收稿日期:1996210225;修改稿收到日期:1997203231Ξ430南京航空航天大学学报第29卷时限信号采样定理1定理对于能量为E,带宽为w的带限信号s(x),如果在0,l]内采N置按照N阶Chebyshev多项式的零点位置分布,即个样点。且样点位xi=l2(1-ti)i=0,1,,N-1(1)ti=cos2i+1Π2N显然,样点是非均匀分布的。如果根据上述样点用Largrange多项式进行插值,那么结论1可以在0,l]内获得信号的近似最佳一致逼近。其截断误差的上界为NΠre214sδEwΕN=max|s(x)-x|=N()()2ΠNx∈0,l]111+1+12N2N其中r=2wl,它是采样系数的倒数。当采样密度N至少为Nyquist率的2.135倍时,插值N项式一致收敛于s(x)。lN-12x若用Chebyshev多项式的线性组合∑cnTn结论2-1进行内插,内插过程稳定。ln=0结论1的证明:根据Largrange插值多项式定理,若信号在0,l]中存在着N次连续(a)导数,用以xi作为插值点的Largrange插值多项式LN-1(x)进行内插,其逼近误差(截断误差)上界5为s(N)()xΕN=max|s(x)-LN-1(x)|=max(3)Ξ(x)NN.x∈0,l]x∈0,l](N)(其中Ξ(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xN-1),sx为sx)的N次导数。因为xi满足式(1),)(1因此,ΞN(x)=TN(x)。2N-1由式(3)可得:xi近似为Chebyshev交错点组。因此,用LN-1(x)作为插值多项式,能使截断误差的上界近似最小。由于TN(x)是定义于0,l]上的第一类N阶Chebyshev多项式,可以将其截断误差的上界进一步放大为Nl(N)(ΕN=)()max|sx|4N.22N-1x∈0,l]由于带限信号具有多阶连续导数,式(1)对信号进行采样并用多项式进行内插,可以得到s(x)的近似最佳一致逼近。其截断误差的上界即为式(4)。但是此误差上界同带宽w之间的关系不明确,需要作进行一步的推导。w由于信号s(x)的能量为E,带宽为w,则有E=∫-w|s(f)|df。其中s(f)为s(x)的傅里叶2w变换。又因为信号是带限的,所以s(N)(x)=∫ej2Πfx(2Πf)Ns(f)df成立。(5)-w根据Schwartz不等式易证得©1994-2013ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第4期林从容等:一个时限信号采样定理及其在数据压缩中的应用431(2Πw)2N+1ww∫-w|s()2(6)f|df=E(2N+1)Π-w1将上式代入式(4),并根据Stirling公式:N.为2ΠN(1+)可将上式进一步简化12NNΠre214sδEwΕN=max|...