考点05导数的概念与应用【知识框图】【自主热身，归纳提炼】1、(2019苏州期末）曲线y＝x＋2ex在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．【答案】【解析】由y＝x＋2ex，得y′＝1＋2ex，切点为(0，2)，切线斜率为3，切线方程为y＝3x＋2.切线与坐标轴的交点为A，B(0，2)，所以S△AOB＝··2＝.2、(2015苏锡常镇、宿迁一调）若曲线C1：y＝ax3－6x2＋12x与曲线C2：y＝ex在x＝1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为________．【答案】－【解析】：因为y′＝3ax2－12x＋12，y′＝ex，所以两条曲线在x＝1处的切线斜率分别为k1＝3a，k2＝e，即k1·k2＝－1，即3ae＝－1，所以a＝－.3、(2015南通期末）在平面直角坐标系xOy中，记曲线y＝2x－(x∈R，m≠－2)在x＝1处的切线为直线l.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则实数m的值为________．【答案】－3或－4【解析】y′＝2＋，y′x＝1＝2＋m，所以直线l的方程为y－(2－m)＝(2＋m)(x－1)，即y＝(2＋m)x－2m.令x＝0，得y＝－2m；令y＝0，x＝.由题意得－2m＝12，解得m＝－3或m＝－4.4、(2017苏北三市期末）已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为．【答案】（5，0）【解析】由，所以，，所以，在上单调递增，即至多有一个交点，要使函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，即，从而可得(－5,0)．5、(2017六市二模联考）已知点A(1,1)和B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d均为常数)上．若曲线C在点A，B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝________.【答案】7【解析】由题意得y′＝3ax2＋2bx，因为k1＝k2，所以3a＋2b＝3a－2b，即b＝0.又a＋d＝1，d－a＝－3，所以d＝－1，a＝2，即a3＋b2＋d＝7.6、(2016南通二模联考）已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.【答案】－3e【解析】：因为f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f(1)≤4，f(e)≤4，解得m≤－3e，又f′(x)＝，且x∈[1，e]，所以f′(x)<0，即f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝4，即m＝－3e.精彩点评：本题的解法采用了逐步逼近的方法，本题题干中所给条件为f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，那么f(1)≤4，f(e)≤4，这样可以得出m的范围，从而缩小了参数的取值范围，减少了不必要的讨论，比起一般的分类讨论求最值的方法，本方法起到了简化讨论的作用．7、（2018年扬州学期调研）若函数在开区间既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是．【答案】．【解析】：函数在处取得极小值，在处取得极大值，又因为函数在开区间内既有最大值又有最小值，所以即a的取值范围是．【问题探究，开拓思维】题型一函数图像的切线问题知识点拨：利用导数研究函数的切线问题，要区分在与过的不同，要是过某一点一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可。例1、(2019常州期末）若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________．【答案】e2【解析】设切点A(x0，ex0)，由(ex)′＝ex，得切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，所以解得【变式1】（2017苏州一调）若直线为曲线的一条切线，则实数的值是．【答案】1【解析】设切点的横坐标为，由曲线，得，所以依题意切线的斜率为，得，所以切点为，又因为切线过切点，故有，解得.【变式2】(2016苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x－1＋，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，则实数k＝________.【答案】1－e【解析】：设切点为(x0，y0)．因为f′(x)＝1－，则f′(x0)＝k，即1－＝k且kx0－1＝x0－1＋，所以x0＝－1，所以k＝1－＝1－e.【变式3】(2018常州期末）已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．【答案】【解析】：设直线方程为y＝kx，切点为A(x0，y0)，则有从而有bx0＋lnx0＝kx0＝bx0＋1，解得x0＝e，所以k－b＝＝.因为曲线y＝lnx与直线y＝x相切，所以曲线y＝bx＋lnx与直线y＝x相切．所以k＝b＋，得k－b＝.作为填空题可这样“秒杀”！一般地，若曲线y＝f(x)与直线y＝kx＋b相切，则曲线y＝f(x)＋k1x＋b1与直线y＝k...