广西高考人教A数学理一轮复习考点规范练49椭圆含解析

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考点规范练49椭圆考点规范练A册第33页基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=1答案A解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为x2169+y2144=1.2.已知椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或21答案C解析若a2=9,b2=4+k,则c=❑√5-k,由ca=45,即❑√5-k3=45,得k=-1925;若a2=4+k,b2=9,则c=❑√k-5,由ca=45,即❑√k-5❑√4+k=45,解得k=21.3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2>b2B.1a<1bC.0<a<bD.0<b<a答案C解析由ax2+by2=1,得x21a+y21b=1,因为焦点在x轴上,所以1a>1b>0,所以0<a<b.4.(2018河南中原名校质量考评)已知点P(x1,y1)是椭圆x225+y216=1上的一点,F1,F2是焦点,若∠F1PF2取最大值时,则△PF1F2的面积是()A.16❑√33B.12C.16(2+❑√3)D.16(2-❑√3)答案B解析椭圆方程为x225+y216=1,∴a=5,b=4,c=❑√25-16=3,因此椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2取最大值,则此时△PF1F2的面积S=2×12×3×4=12,故选B.5.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.6.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.[❑√55,1)B.[❑√22,1)C.(0,❑√55]D.(0,❑√22]答案B解析 F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组{x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,整理,得x2=(2c2-a2)·a2c2≥0,解得e≥❑√22,又0<e<1,∴❑√22≤e<1.故选B.7.设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为.答案513解析由题意知a=3,b=❑√5.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|PF2||PF1|=513.8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为❑√22,F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为❑√2-1.(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知椭圆E上存在一点P,使得直线PF1,PF2分别交椭圆E于点A,B,若⃗PF1=2⃗F1A,⃗PF2=λ⃗F2B(λ>0),求直线PB的斜率.解(1)由题意得e=ca=❑√22,①a-c=❑√2-1,②由①②解得a=❑√2,c=1,∴b=❑√a2-c2=1.∴椭圆E的标准方程是x22+y2=1.(2)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线lPA的方程为x=my-1.由{x=my-1,x2+2y2=2,消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,则y0·y1=-1m2+2. 1m=y0x0+1,∴m=x0+1y0.∴|PF1||F1A|=-y0y1=-y0-1(m2+2)y0=(m2+2)y02=[(x0+1)2y02+2]y02=(x0+1)2+2y02=(x0+1)2+2-x02=3+2x0.∴3+2x0=2,解得x0=-12,∴P(-12,±❑√144).∴kPB=kPF2=±❑√144-12-1=∓❑√146.故直线PB的斜率为±❑√146.9.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√63,焦距为2❑√2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q(-74,14)共线,求k.解(1)由题意得{a2=b2+c2,ca=❑√63,2c=2❑√2,解得a=❑√3,b=1.所以椭圆M的方程为x23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由{y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.所以|AB|=❑√(x2-x1)2+(y2-y1)2=❑√2(x2-x1)2=❑√2[(x1+x2)2-4x1x2]=❑√12-3m22.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为❑√6.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2).由{y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,得[(x1+2)2+3y12]x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.设C(x...

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