探讨Roll定理应中教用中辅助函数的构造•中教数据论文探讨Roll定理应中教用中辅助函数的构造李庆娟(大连财经学院基础部，辽宁大连116622)摘要:罗尔定理是微积分学中重要的中值定理之_,本文主要是基于多年的高等数学教学经验以及高等数学竞赛的培训经验，讨论并总结岀了罗尔定理应用中辅助函数构造的方法与技巧。关键词:中值定理；罗尔定理；辅助函数；构造DOI:10.16083/j.cnki.22-1296/g4.2015.11.067中图分类号：0174.4文献标识码：A文章编号：1671—1580(2015)11—0147—02收稿日期：2015—04—18作者简介：李庆娟(1980—),女，辽宁大连人。大连财经学院基础部，讲师，硕士，研究方向：计算数学。中值定理在一元微积分学中具有非常重要的地位和应用价值,它主要涉及两个方向：一方面是指微分中值定理，包括三大定理，即罗尔定理(Roll\拉格朗日中值定理(Lagrange)、柯西中值定理(Cauchy);另一方面是指积分中值定理。利用中值定理证明相关结论时，关键是构造辅助函数，有些简单的问题,辅助函数很容易构造出来，但有的问题是需要我们掌握一定的方法和技巧的。下面主要以实例分析的形式探讨一下罗尔定理应用中构造辅助函数的方法和技巧。首先回顾一下罗尔定理的内容。罗尔定理(Roll):如果函数f(x)满足:(1)在闭区间［azb］上连续;(2)在开区间⑻b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)o那么在(a,b)内至少存在一点C，使得f(0=0。利用罗尔定理证明相关结论时，首先要抓住题型设计的特点，对比罗尔定理的条件与结论,判断是否是罗尔定理应用的考核，其次就是想方设法构造出辅助函数。例1:设函数f(x)在［azb］上连续，在(a,b)内可导，且f(a)二f(b)二0。试证:在⑻b)内至少存在一点C，使得f(0-f(()=0o分析:首先从题目的形式，我们可以确定是罗尔定理的应用，接下来就是怎样构造出辅助函数了，最基本的方法是从结中教论出发，由等式f(C)-f(C)=o分析，思考怎样求导会出现类似这样的形式。根据平时积累的求导经验,我们会发现本题的结论形式类似于函数的乘积求导法则，如果做等价变形eV(Oe<f(Q=(e・xf(x))'|xN=0,从而获得辅助函数。证：设函数F(x)二e-xf(x),由题中条件可知，F(x)满足在［azb］上连续,在(a,b)内可导，且F(a)二F(b)二0,故由罗尔定理可知，在(a,b)内至少存在一点J,使得F«)=0,即F((0=(e-xf(x))1x=<=e-<f«)-e-<f(0=0,化简整理可得f©f(0=o证毕。例2:设函数f(x)在［1,2］上连续，在包2)内可导，且f⑴二f(2)二0。试证:存在一点Ce(l,2)，使得、。(大连市第18届高等数学竞赛)分析:利用倒推思ffi.rt^=2009f«)得/(G•金6厂汆。"•两边同乘以津•即广勿(G-需T詁了⑷=(才岂心)川…“•从而获得辅助硕数。证:令F(力)=x-=^/(x),由已知条件可知，甬数F(J在门，2］上连续•在(1.2)内可导•且F(!)=F(2)=0.由罗尔定理得•在(1,2)内至少〃在一点门使得即=0,化简得■^•=2009f(f)o以上两个例子采用了同样的分析构造法，采用此方法的前提一定要熟练掌握导数的求解，而且对于稍难一点的题可能会花费很长时间才能构造出来辅助函数，甚至有的学生根本构造不出来，下面给岀一个易掌握的且很快将函数构造岀心)来的方法，拿上述第二个例子为例，要证明等式T=,可以采用积分f(x)I1及微分方程的思想”将上述式子变形心)一门009”主要方向是将硏究的等式化简成左边是函数导数与函数的比的形式，其余都转化到到轸式的右端•接下来两边积分可得1叭对=7^-lor♦lnr,即吋(x)=incx^•从而得刊关系式为/(x)二c缶您续整理可知最终将等式转化为等式右端为常数r即达到日的•化简程序笑止•这时就可以令辅助南数为")"艺心)一当然，这个方法中用到了积分中凑微分的思想以及解微分方程的方法,因此，对于初学罗尔定理的学生们可能理解上有难度，但对于参加高等数学竞赛以及考研的学生们是需要学会的处理方法，掌握了这种处理方法，再难的罗尔定理的应用证明题都会迎刃而解。利用上述的方法与技巧，我们可以很快构造岀类似下列问题的辅助函数：(1)<f«)+kf«)=0令F(x)二xkf(x);(2)f(0+Af(Q=0令F(x)二e入xf(x);(3)(<-a)f«)+kf«)=O令F(x)二(x-a)kf(x);(4)f«)+g«)f©=0令F(x)=eg(x)f(x)o例3：设陨数/(<)在&.2］上...