浅析教学三垂线定理的实际应用-中学数学论文浅析教学三垂线定理的实际应用邓汉家（武鸣县委党校，广西南宁530100）摘要：“三垂线定理”是立体几何的中重要定理，它是在研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础。关键词：垂线；空间；三垂线定理：G633文献标识码：A：1005-6351(2013)-02-0141-02一、概念分析概念：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直用法：1、三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系；2、a与PO可以相交,也可以异面；3、三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证。即第一,找平面(基准面)及平面垂线；第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线。第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。注：1°定理中四条线均针对同一平面而言。2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系。二、三垂线定理应用策略（一）三垂线定理及其逆定理所论述的三个垂直关系以及所涉及的一个平面，即“一面四线”；其次掌握运用定理的五个步骤：确定平面作出垂线；找到斜线；确定射影；得出所证的垂直关系。其关键是确定平面的垂线。（二）要结合空间图形牢固掌握三垂线定理及其逆定理，并明确其实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理和性质定理。要注意从图中找线线垂直（可充分利用立体图形的概念，平面图形的性质）或通过适当作辅助线产生线线垂直，目的是为运用三垂线定理及其逆定理创造条件。例1、如图1，道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A与道路的距离？(测角器只能测水平面角)解：在道路边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90° BC是AC的射影,且CD⊥BC,∴CD⊥AC(三垂线定理)，因此斜线AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。例2、如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C证明：连结BD、A1B， DD1⊥平面ABCD，∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ABCD是正方形，∴AC⊥BD(AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影,AB1⊥BD1而AC∩AB1=A，∴BD1⊥平面AB1C三、培养学生的空间想象力学生在学习机械制图过程中，首先接触的是型体，然后把型体（立体）通过空间想象投入到图形中，也就是零件图。其分析问题的过程主要表现为：（一）从表面到内部首先接触的型体，我们看到的是这个型体的表面，是我们日常生活中用眼睛接受物体的一个感性表面，首先接受的是型体的主要特点，也就是如果这个事物是方的表面表现的就是折线。如果是圆的，表面表现就是曲线。而且我们可以知道它的存在方式。我们可以通俗地理解它的存在方式，一座方形的或者圆形的建筑。但是我们只有看到其外形，而没看到这个建筑中具体存在的方式，形象地讲，建筑内部是有人还是没有人，里面是什么样子的。我们从形体的表面看到的只是一部分，还有一部分也是存在的。型体当中的具体结构的存在形状，即内部结构方式。（二）从前面到后面，从左面到右面，从上面到底面我们在第一点中谈到从表面到内部，制图中的投影方法是正投影，我们看到的真实的形状，且表面方法主要是在三方面进行的，所以我们主要来讨论从前后、左右、上下来进行观察，从前面看有什么特点，后面有什么特点，左右有什么特点，上下有什么特点。掌握了六个方面的特点，也就把整个型体掌握了。这里关键是三个方向的观察顺序，一般情况下为前后、左右、上下。这主要看每个人的观察方式，在接受每个面的形状大小特点后，应理性的接受各个表面的结构形状，然后把三个方向的结构统一的结合起来，在我们的脑子中间形成了一个完整的型体，并把其主要的结构特点记下来。（三）针对型体的结...