限位数理论与运算器设计摘要：用数码按照“逢N进一”规则书写的限位数，最高进位会丢失，这种看似缺点的现象，恰为机器实现算术运算带来了方便。数码书写的限位数不但有序，而且总数一定，其中和为总数的两数中，较大的数如果代表较小数的相反数，不但能解决用限位数表示正负数，而且也能解决用机器实现算术运算的问题。限位数是计算机产生和发展的重要理论之一，运用它来进行计算机设计，简单易行。关键词：限位数；补码；反码；运算器；计算机设计：TP301，TP302，TP3031引言无论国内还是国外的计算机教材，涉及到运算器设计，都是用二进制运算与逻辑电路的转换，直接搭建了加减法运算器[1]，没有能够恰当地解释机器数值运算的道理。多数教材提到了数制理论，然而，又与计算机运算器的实际设计思想相差甚远，基本上都从实数理论对运算器的电路设计“进行解释，但不能应用于器件设计[2]”。究竟计算机运算器的设计是根据什么理论来完成的？本文作者在2004年提出了限位数的概念和方法[3]，将二进制数的机器表示问题，提升到任意进制数，从而可以很好解释计算机设计中一些作法的合理性，也可以说明类似“+0和-0”[4]概念的错误之处。将限位数理论和方法，用到了计算机软硬件设计中[5]，不仅思路清晰，而且能够收到简单易行的效果。2限位数数，一般都由数码记录。手写数不考虑数码有多少，而计算机却有位数的限定。2.1限位数的概念用数码表示，位数一定的无符号整数，叫限位数。限位数为了表示位数多少，无效0不能省略。例如，001，00001是不同的限位数。限位数按无符号整数进行运算，叫面值运算。2.2限位数特性（1）限位数的数量一定。例如，3位十进制数只有1000个，而8位二进制数只有256个。一般来说，n位N进制数共有Nn个。总数Nn叫限数。（2）最大的限位数是由最大的数码组成的，它比限数少1。例如，4位十进制的9999是最大数，而限数是10000。显然限数是不能用限位数表示的最小正整数。（3）限位数有一一对称性。限位数的对称规则是“两数面值之和为限数”。例如四位十进制限位数，001和999、002和998、…、499和501，500和500是自身对称。显然000没有对称的数。限位数的对称数也叫补码。（4）限位数进行面值算术运算，加法、乘法，超过位数限制的进位会丢失，不够减的-2-运算也不能进行。因而面值运算的变化一般不能用“=”连接。我们规定，面值运算变化用“<=>”连接。例如，522×321<=>562，因为最高位向上进的167丢失了。（5）假定限位数某一处有小数点，小数点移动，不影响限位数的特性（1）～（4）。3用限位数计算限位数虽然运算范围有限，但却是计算机运算所必须依赖的形式。如果不发生减法运算，限位数面值运算的结果，发生了最高位进位，就说明结果超出范围了。如果用限位数表示正负数，那么面值运算最高位发生进位，值可以是正确的。3.1表示正负数不用添加正负号，用限位数就可以表示正负数。这是利用限位数的对称性和正负数对称性一致实现的。由于限位数中，面值较小限位数的补码在面值较大的部分，而限位数的相反数与限位数的补码一一对应。因而可以规定：比对称点大的数表示的是其补码的相反数，否则表示原数。例如，3位十进制限位数502表示的值是498的相反数-498。由于偶进制的对称点正好是一个限位数，并且补码是自身，为避免二义性，就规定其为负数。如此偶进制限位数表达的正负数范围负数比正数多一个最小数。限位数代表的十进制有符号数，叫这个限位数的值。限位数值相等，用“=”号连接。3.2限位数加法可以代替值的加减运算各进制整数如果可以用限位数表示，那么它们的加减运算，就可以用限位数的加法来完成。例如，22-12=22+(-12)，由于2位限位数22可以表示值22，而88可以表示值-12，所以用22+88<=>10限位数的加法，就得到了10这个限位数，它表示的值是10，可见结果正确。3.3溢出用限位数面值加法，不一定能够完全代替十进制数的加减法运算。例如，十进制的40+20，用限位数面值加法运算表示，得到的值是-40。因为面值运算的结果虽然是60，但因为2位十进制限位数表示正负数范围是-50～49，根据值的规定，限位数60的值是-40，可见是错误的。限位数面值运算得到...