专题09基本不等式的应用1、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】设，则2、【2019年高考天津卷文数】设，则的最小值为__________.【答案】【解析】.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为所以的最小值为.3、【2019年高考浙江卷】若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.4、【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知，且，则的最小值为.【答案】【解析】由可知，且，因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．5、【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.6、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．一、三个不等式关系：(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．(2)a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．(3)a，b∈R，≤()2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2(或ab≤()2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．二、.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)四、对于f(x)＝x＋，当a≤0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a＞0时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)为增函数；在(－，0)，(0，)为减函数．注意在解答题中利用函数f(x)＝x＋的单调性时，需要利用导数进行证明．五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。题型一运用消参法解决基本不等式中的最值问题消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2019常州期末）已知正数x，y满足x＋＝1，则＋的最小值为________．【答案】4【解析】多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解．解法1(直接消元)由x＋＝1得y＝x－x2，故＋＝＋＝＋＝≥＝4，当且仅当x＝1－x，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.解法2(直接消元)由x＋＝1得＝1－x，故＋＝＋，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值)同解法1，2得＋＝＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.例2、(2017苏北四市期...