概率密度函数得性质概率密度函数的性质2离散型随机变量的可能值可以一一列举出来，但另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个，其取值是充满某一个区间，即不能用分布列表示X的取值及其概率。因此通过所谓概率密度来描述这类随机变量的统计规律性。本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。一、概率密度函数的概念3对于随机变量X，若存在非负函数xdttpxXP)()(使对任意实数,xxp则称X为连续型随机变量，px为X的概率密度函数，简称密度函数或密度.都有,x的概率分布规律就得到了全面描述.所以若已知密度函数，该连续型随机变量定义p(x)0xx4面积为1这两条性质是判定一个函数)(xp是否为某随机变量X的密度函数的充要条件。.1)(dxxp性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；,0xxp(2)归一性(1)非负性p(x)0x1二、概率密度函数的性质5)(321xXxP21)(xxtdtp21xx即X落在上的概率上曲线xpy之下的曲边梯形的面积。（4）若xp在点x处连续，则有xpxxxXxPx0limxxpxxXxP这表示X落在小区间x,x+x上的概率近似地等于.xxp若不计高阶无穷小，有：p(x)x01x2x密度函数的几何意义,21xx,21xx6若xxxXxPx)(lim00()limxxxxptdtx的进一步理解:对)(xp的连续点，则：)(xp是x)(xp如果把概率理解为质量，x,(xxx故X的密度)(xp在x这一点的值，恰好是X落在的概率与区间长度之比的极限.这里，相当于线密度.)(xp区间)(xp不是概率.x邓小平)(所起的作用与kkpxXP)(理论中所起的作用相类似.在连续型随机变量理论中在离散型随机变量7（5）对任意实数a，则0aXP称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出A由P(B)=1,不能推出B=S这是因为)(lim)(0aXxaPaXPxaxaxdxxp)---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(lim008的高度反映了概率集中在该点附近的程度.要注意的是:密度函数)(xp)(ap并不是aX的概率.但是这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；p(x)0x1由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所关心的是它在某一区间上取值的问题在某点处的高度a9)()(bXaPbXaP)(bXaP对连续型随机变量X,有)(bXaP，的密度函数为若已知连续型随机变量xpX取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,DDXDdxxp邓小平10例1某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度otherxxkxp01002求常数k.该晶体管不能工作150h的概率。一台仪器中装有4只此种晶体管，至少有1只失效的概率。工作150h后，解100kxdxk100211001xk100k150.2XPxdx150100210031)15011001(100设Ai“第i只晶体管150h失效”.4,3,2,1i11由于150XPAPi314321AAAA相互独立，则所求的概率为1234()PAAAA)()()()(14321APAPAPAP42651()38112341()PAAAA12三、连续性随机变量的分布函数对于连续性随机变量X，存在密度函数xdttpxXPxF)()()(使对任意实数,xxp则称F(x)为连续型随机变量X的分布函数，都有,x分布规律就得到了全面描述。由于连续型随机变量的分布确定.所以若已知密度函数，该连续型随机变量的概率函数唯一被它的密度函数所p(x)0xx)(xF13,10xxF连续性随机变量分布函数的性质p(x)0xx)(xF(1)是连续的单增函数xFxdttpxF)()(0xpx)(xF0114（2）若xp在点x处连续，则有xpxF)(0limxFxxFxpxx0limxPxXxxx面积为1.0)(lim)(xFFx(3)p(x)0x1()lim()xFFx.1)(dxxp15试说明设有函数其它00sin)(xxxF不满足性质(1)，故,2可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.或者0)(lim)(xFFx能否是某个随机变量的分布函数.xF解：注意到函数xF在上下降，不能是分布函数.xF不满足性质(2)，例116的分布函数为设连续---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---型随机变量XxxxFarctan121的密度函数试求X，则的密度函数为设xpXxFxpxx2111例2解17BxAxFarctan求A、B.解02BAF12BAF211BA21arctan1xxF例3已知18设随机变量X的密度函数为其它0,10,12)(2xxxp求解：对x0，2021()1xFxdtt01,x对.xFxtdtpxXPxF0xFxarcsin2对1xF002()arcsin0111xFxxxx即例41,x19xdttp...