关于经管类微积分教学中无穷小量与无穷大量的探讨［摘要］文章借助反例进一步讲解了经管类微积分课程教学中无穷小量、无穷大量以及无界变量之间的关系和性质。教学实践证明，在微积分教学中恰当地使用反例，能够帮助学生加强对相关知识点的理解。［关键词］无穷小量；无穷大量；无界变量；教学改革［DOI］10.13939/j.cnki.zgsc.2016.02.1551引言微积分课程是经济管理类专业本科生的专业基础课。而无穷小量与无穷大量又是微积分课程中的两类非常重要的概念。［1-3］因此，经济管理类专业本科生如果能够灵活运用无穷小量以及无穷大量的相关性质以及它们之间的关系，对后续一元函数和数列的极限计算，一元函数的连续性,导数以及可微性的证明和求解都会有很大帮助。笔者近些年对经济管理类专业本科生的教学实践发现，许多教材在对无穷小量以及无穷大量的讲解中，仅仅对无穷小量的各种性质进行展开讨论，而关于无穷大量的性质却一笔带过，如李霄民与夏莉等出版的《微积分》上册。［1］不仅如此，笔者发现许多教材在讲解无穷小量以及无穷大量之间的关系与性质时，特别是关于无穷大量的性质，不仅没有适当的证明，而且也没有足够的反例来解释相关问题。因此许多文献补充了相关性质，并列举了适当的反例。然而，笔者发现许多反例晦涩难懂，不利于像文科类学生居多的工商类院校学生的理解。基于上述问题，笔者将通过中学中一些常见的简单易懂的例子出发，对无穷小量以及无穷大量的学习中易产生误解的性质与关系进行了总结和归纳，进一步认识二者之间的关系和性质，解决学生学习中的迷茫和疑惑，从而激发学生学习微积分课程的兴趣。[4]2无穷小量与无穷大量的性质反例本文首先冋顾微积分的教材中关于无穷小量的如下三个性质。[1,2]性质1：有限个无穷小量的和与差仍为无穷小量。性质2：有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。性质3：有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。教材中对上述几个性质有许多例子进行解释。然而如果把上述性质1和性质3中无穷小量换为无穷大量一定成立吗？回答是否定的。下面通过几个中学中常用的函数构造反例进行解释。这样不仅简单易懂，而且学生更容易接受。命题1：有限个无穷大量的和与差不一定是无穷大量。总结：在数学的学习中，要学会用最简单的函数构造反例，解决相关问题，从而达到融会贯通的效果。3无穷大量与无界变量的比较反例在讲解无穷大量与无界变量之间的关系前，我们首先强调下关于无穷人量的儿点注意事项。注意1：需要强调的是无穷大量指的是绝对值无限增大的变量。此处与中学的有些区别。很多同学总是认为只有最终趋近正无穷的变量才是无穷大量。而最终趋近负无穷的变量则是无穷小量。这种理解显然是没有搞清楚无穷小量和无穷大量的定义。注意厶无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很大的数混为一谈。同样，我们也不能认为无穷小量为很小很小的数。在理解了无穷人量的定义后，我们对无穷人量与无界变量之间的关系进行再总结归纳，并给出几个例子进行分析。(1)无穷大量是无界变量。(2)无界变量不一定是无穷大量。反例1：数列{an}:an=l+(T)rm。显然an为无界变量，但是当nSymboleB@时，an不是无穷大量。反例2：再如当X-SymboleB@时，函数x2cosx为无界变量，但不是无穷大量。总结：正确理解无穷大量与无界变量之间的关系，不仅为以后学习其他知识做好铺垫，而且对培养数学思维也有着一定作用。4无穷小量的等价代换方法求极限的应用误区止确地利用无穷小量的等价代换方法求解某些函数的极限，不仅简化计算步骤，而且可以取得事半功倍的结果。然而笔者发现，自从讲解了无穷小量的等价代换方法后，许多学生没看清楚无穷小量的等价代换方法适用范伟I,就不假思索地借助该方法求解，从而导致许多计算结果的失误和错误。所以正确灵活运用无穷小量的等价代换方法就显得极为重要。笔者通过以下注意事项以及几个实例和反例将对该问题进一步的总结和阐述。注意1：在利用无穷小量的等价代换方法求极限时首先要看清口变量的趋近过程。只有无穷小量时才可以考虑等价代换方法。如果不是无穷小量，则不能借助等价代换方法求极限。O注意2：在微积分教材中，曾强调过利用等...