1．极值与最值的关系?f(x)[a,b]上连续?在闭区间设函数则函数的最大值和最小值一定存在?函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得?如果最大值不在区间的端点取得?则必在开区间[a,b])b(a,上?因此?函数在闭区间内取得?在这种情况下?最大值一定是函数的极大值的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者?同理?函数在闭区间[a?b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者?2．最大值和最小值的求法?x,x,,x)xf()b(a,?为(它们是可能的极值点)在内的驻点和不可导点设?则比较n21f(a),f(x),f(x),,f(x),f(b)?f(x)[a,b]上的最大在其中最大的便是函数的大小?n12f(x)[a,b]上的最小值??最小的便是函数在值求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3214??12xy?2x?3x]4?3,[上的最大值和最小值例6求函数在2??1x?x??2,解方程f0(x)?,得12f?(x)?6x6x?解21;142(4)?34?23;;f(1)?ff(?3);?f(?2)7由于2314x??2x?3x?12y?)f(4]43,[?142上的最大值为在因此函数?f(1)7最小值为2],4[?32??)?x3xxf(在例7?求函数上的最大值与最小值x?3x?2x?[?3,1]?[2,4]2?f(x)???由于解?x?3x?2x?(1,2)2?1)4)?(2,2x?3x?(?3,1???(xf)?所以)2x?(1,?2x?3?3?x2?1,xx?)f(x内的驻点为3?4)，不可导点为在求得(?22131?f()03)?20,f(1f(4)?6)?f(?,f(2)?0，?而242?1,xx?)(xf3??x在在0?处取得最小值处取得最大值经比较20?21最大值、最小值的应用3.:实际问题求最值步骤.求最值建立目标函数;(2)(1)为了??C距A处为20kmAC垂直于AB例8工厂铁路线上AB段的距离为100km?工厂已知铁路每公里货运的运费与?运输需要?要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路D问为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省?公路上每公里货运的运费之比3:5?点应选在何处？100kmBAD20kmC2)??xkm)(400x?20?CD)AD?x(km?x)((km)DB?10022则?设??解DBCD?3k?y?5k?k)是某个正数(那么再设从B点到C点需要的总运费为y?1000?x?3k(100?x)(?x?k400y?52?即yx],100[0?内取何值时目标函数于是问题归结为?在的值最小x5?)?k(?y3?xy)kmx?15(0y???得解方程先求对?的导数x400?21?k1500?y|k380y?k?380yy400?k为??由于?其中以100?x15x150?xx??252)km15AD?x?(最小?因此当时总运费最省?x)f(x且该驻点?开或闭注意?)内可导且只有一个驻点?在一个区间(有限或无限0)xxf(x)f()f(x当就是该区间上的最大值?是极大值时?的极值点?那么当是函数000)(f(x)fx就是在该区间上的最小值?是极小值时?00yy)(xy?f(x)fy?f(x)0xf()0xbOaxxbxOa00)xf(和实际问题中往往根据问题的性质可以断定函数确有最大值或最小值?说明：x)(xf那么不必讨?一定在定义区间内部取得?这时如果在定义区间内部只有一个驻点0)xf(f(x)是最大值或最小值?论是否是极值就可断定00hb应如何选择和宽的圆木锯成截面为矩形的梁?问矩形截面的高例9把一根直径为d1bhW?2?)最大才能使梁的抗弯截面模量W(6d222hb??dhbh?与有下面的关系解1bbW?(d?b)22(0?b?d)因而6b等于多少时目标函数W取最大值？于是问题转化为?当11?)b?W3?(d22?0W?d?b???为此求W对b的导数得驻点?解方程63(0,d)内部取得?又函数存抗的最大弯截面模量一定在?且在梁由于11?db)d(0,)W?bb(d?22所以当在此时W时?的值最大??内只有一个驻点?36122d?bd?d?dh??222222dh?d:h:b?3:2:1???即3333例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？x?180???50x??套元，租出去的房子有解设房租为每月10??x?180??22?50y?xy?x)?R(x)?(x20??每月总收入为10??x1xx???????(x)?68??(x?20)R??)?2068(Rx)?(x?70???????，1010105???????(x)?0R?x?350（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为350???10890(元)?6820)(Rx)?(350???10??22x??xyy8x?y?0，,例11上求一点及抛物线由直线围成一个曲边三角形,在曲边8，x?0y?使曲线在该点处的切线与直线...