第三讲三A级基础巩固一、选择题1.设a、b∈R＋，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q间的大小关系是(B)A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q2.(1＋1)··…··…·的取值范围是(C)A.(21，＋∞)B.(61，＋∞)C.(4，＋∞)D.(3n－2，＋∞)3.在锐角三角形中，设P＝，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P、Q的大小关系为(C)A.P≥QB.P＝QC.P≤QD.不能确定[解析]利用排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和，则不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(C＋A)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝P＝.4.若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为(A)A.5B.6C.7D.8[解析]由柯西不等式可得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，∴5·5≥(a＋2b)2，∴(a＋2b)2≤25，∴－5≤a＋2b≤5.故选A.5.若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中最大的是(A)A.a1b1＋a2b2B.a1a2＋b1b2C.a1b2＋a2b1D.[解析] a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝1，a1b1＋a2b2－a1b2－a2b1＝(a1－a2)(b1－b2)>0，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1，且a1b1＋a2b2>>a1b2＋a2b1.又1＝a1＋a2≥2，∴a1a2≤. 0<a1<a2，∴a1a2<.同理b1b2<，∴a1a2＋b1b2<＋＝，∴a1b1＋a2b2>>a1a2＋b1b2，∴a1b1＋a2b2最大.二、填空题6.已知a、b、x、y∈R＋，且>，x>y，则__>__.(填“>”或“＝”或“<”)[解析] >，∴b>a>0，又x>y>0，由排序不等式可知，bx>ay，又－＝>0，∴>.7.设A、B、C表示△ABC的三个内角，a、b、c表示其对边，则的最小值为____.(A、B、C用弧度制表示).[解析]由对称性，不妨设a≥b≥c，于是A≥B≥C，于是由排序不等式：顺序和≥乱序和，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.将以上三个同向不等式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c).因为a＋b＋c>0，于是有≥.三、解答题8.设0<a1≤a2≤…≤an,0≤b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的一组排列，证明：ab11ab22…abnn≥ac11ac22…acnn≥abn1abn－12…ab1n.[解析]因为0<a1≤a2≤…≤an，所以lna1≤lna2≤…≤lnan，又因为0≤b1≤b2≤…≤bn，故由排序原理得b1lna1＋b2lna2＋…＋bnlnan≥c1lna1＋c2lna2＋…＋cnlnan≥bnlna1＋bn－1lna2＋…＋b1lnan，于是得ln(ab11ab22…abnn)≥ln(ac11ac22…acnn)≥ln(abn1abn－12…ab1n)，因为f(x)＝lnx(x>0)为单调增函数，于是ab11ab22…abnn≥ac11ac22…acnn≥abn1abn－12…ab1n.9.设a1、a2、a3为正整数，且互不相同，求证：1＋＋<a1＋＋.[解析]证明：将a1，a2，a3按从小到大排成a′1<a′2<a′3，又因为<<，由排序不等式：反序和≤乱序和，得a′1·＋a′2·＋a′3·<a1·＋a2·＋a3·，①因为a′1，a′2，a′3为正整数，且互不相等，于是a′1≥1，a′2≥2，a′3≥3，∴1·＋2·＋3·≤a′1·＋a′2·＋a′3·，②由①②得1＋＋<a1＋＋.B级素养提升一、选择题1.已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分别是(B)A.132,6B.304,212C.22,6D.21,362.已知a、b、c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)(B)A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零[解析]设a≥b≥c>0，则a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.因为ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.3.若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为(C)A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B[解析]依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0<x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列.依排序不等式，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.4.已知a、b、c∈R＋，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋...