那些神秘的数学常数我一直觉得，数学中的各种常数是最令人敬畏的东西，它们似乎是宇宙诞生之初上帝就已经精心选择好了的。那一串无限不循环的数字往往会让人陷入一种无底洞般的沉思——为什么这串数字就不是别的，偏偏就是这个样呢。除了那些众所周知的基本常数之外，还有很多非主流的数学常数，它们的存在性和无理性同样给它们赋予了浓重的神秘色彩。今天，就让我们一起来看一看，数学当中到底有哪些神秘的无理常数。√2≈1.4142135623730950488古希腊的大哲学家Pythagoras很早就注意到了数学与大千世界的联系，对数学科学的发展有着功不可没的贡献。他还创立了在古希腊影响最深远的学派之一——Pythagoras学派。Pythagoras学派对数字的认识达到了审美的高度。他们相信，在这个世界中“万物皆数”，所有事物都可以用整数或者整数之比来描述。第一个无理数√2的发现者就是一位Pythagoras学派的学者，他叫做Hippasus。据说，一日Hippasus向Pythagoras提出了这样的问题：边长为1的正方形，对角线长度能用整数之比来表示吗？Pythagoras自己做了一些思考，证明了这个数确实无法用整数之比来表示。由于这一发现触犯了学派的信条，因此Pythagoras杀害了Hippasus。利用勾股定理可知，这个数是方程x^2=2的唯一正数解，我们通常就记作√2。√2可能是最具代表性的无理数了，我们之前曾经介绍过很多√2的无理性的证明。无理数的出现推翻了古希腊数学体系中的一个最基本的假设，直接导致了第一次数学危机，整座数学大厦险些轰然倒塌。无理数虽说无理，在生产生活中的用途却是相当广泛。例如，量一量你手边的书本杂志的长与宽，你会发现它们的比值就约为1.414。这是因为通常印刷用的纸张都满足这么一个性质：把两条宽边对折到一起，得到一个新的长方形，则新长方形的长宽之比和原来一样。因此，如果原来的长宽比为x:1，新的长宽比就是1:x/2。解方程x:1=1:x/2就能得到x=√2。圆周率π≈3.1415926535897932385不管圆有多大，它的周长与直径的比值总是一个固定的数。我们就把这个数叫做圆周率，用希腊字母π来表示。人们很早就认识到了圆周率的存在，对圆周率的研究甚至可以追溯到公元以前；从那以后，人类对圆周率的探索就从未停止过。几千年过去了，人类对圆周率的了解越来越多，但却一直被圆周率是否有理的问题所困扰。直到1761年，德国数学家Lambert才证明了π是一个无理数。π是数学中最基本、最重要、最神奇的常数之一，它常常出现在一些与几何毫无关系的场合中。例如，任意取出两个正整数，则它们互质（最大公约数为1）的概率为6/π^2。自然底数e≈2.7182818284590452354在17世纪末，瑞士数学家Bernoulli注意到了一个有趣的现象：当x越大时(1+1/x)^x将会越接近某个固定的数。例如，(1+1/100)^100≈2.70481，(1+1/1000)^1000≈2.71692，而(1+1/10000)^10000则约为2.71815。18世纪的大数学家Euler仔细研究了这个问题，并第一次用字母e来表示当x无穷大时(1+1/x)^x的值。他不但求出了e≈2.718，还证明了e是一个无理数。e的用途也十分广泛，很多公式里都有e的身影。比方说，如果把前n个正整数的乘积记作n!，则有Stirling近似公式n!≈√2πn(n/e)^n。在微积分中，无理数e更是大显神通，这使得它也成为了高等数学中最重要的无理数之一。黄金分割φ=(1+√5)/2≈1.6180339887498948482把一根线段分为两段，分割点在什么位置时最为美观？分在中点处，似乎太对称了不好看；分在三等分点处，似乎又显得有些偏了。人们公认，最完美的分割点应该满足这样一种性质：较长段与较短段的长度比，正好等于整条线段与较长段的长度比。这个比值就叫做黄金分割，用希腊字母φ来表示。若令线段的较短段的长度为1，则φ就满足方程φ=(1+φ)/φ，可解出φ=(1+√5)/2。在美学中，黄金分割有着不可估量的意义。在那些最伟大的美术作品中，每一个细节的构图都充分展示了黄金分割之美。在人体中，黄金分割也无处不在——肘关节就是整只手臂的黄金分割点，膝关节就是整条腿的黄金分割点，而肚脐则位于整个人的黄金分割点处。在数学中，黄金分割φ也展示出了它的无穷魅力。例如，在正五角星中，同一条线上三个点A、B、C就满足...