考点规范练27数系的扩充与复数的引入考点规范练A册第19页一、基础巩固1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i答案C解析由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.2.已知复数z=2-i,则z·z的值为()A.5B.❑√5C.3D.❑√3答案A解析z·z=(2-i)·(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选A.3.若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B解析设z=a+bi(a,b∈R),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.4.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=❑√2答案D解析z=1-i,|z|=❑√1+1=❑√2,选D.5.若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案D解析由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,所以a=4.6.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=()A.2B.-2C.1+iD.1-i答案A解析由题意可知z2=1-i,故z1z2=(1+i)·(1-i)=2.故选A.7.设z=1+i,则2z+z2等于()A.1+iB.-1+iC.-iD.-1-i答案A解析2z+z2=21+i+(1+i)2=2(1-i)(1+i)(1-i)+2i=2(1-i)2+2i=1-i+2i=1+i.8.(2018河北唐山二模)若复数z=1+ia-i(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为()A.1B.iC.2D.2i答案A解析z=1+ia-i=(1+i)(a+i)(a-i)(a+i)=a-1+(a+1)ia2+1.因为z是纯虚数,所以{a-1=0,a+1≠0,解得a=1,所以z的虚部为1+112+1=1,故选A.9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z12z2所对应的点在复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析∵z1=2+2i,z2=1-3i,∴z12z2=(2+2i)21-3i=8i1-3i=8i(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-24+8i10=-125+45i.∴复数z12z2在复平面内所对应的点的坐标为(-125,45),位于第二象限.故选B.10.若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是.答案-1解析(a+i)2=a2-1+2ai,由题意知a2-1=0,且2a<0,即a=-1.11.(2018北京丰台一模)如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z2z1=.答案-1-2i解析由题意,得z1=i,z2=2-i,所以z2z1=2-ii=(2-i)·(-i)i·(-i)=-1-2i.12.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则|(1-z)·z|=.答案❑√10解析依题意得(1-z)·z=(2+i)(-1+i)=-3+i,则|(1-z)·z|=|-3+i|=❑√(-3)2+12=❑√10.二、能力提升13.若z=4+3i,则z|z|=()A.1B.-1C.45+35iD.45−35i答案D解析因为z=4+3i,所以|z|=|4+3i|=❑√42+32=5,共轭复数为z=4-3i.故z|z|=45−35i,选D.14.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则z1+z2z1-z2=()A.-1-iB.1+iC.1-iD.-1+i答案C解析∵z1=-1+3i,z2=1+i,∴z1+z2z1-z2=-1+3i+1+i-1+3i-1-i=4i-2+2i=2i-1+i=2i(-1-i)(-1+i)(-1-i)=2i(-1-i)2=1-i.故选C.15.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.答案52解析由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则{a2-b2=3,ab=2,解得{a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.16.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是.答案[-916,7]解析由复数相等的充要条件可得{m=2cosθ,4-m2=λ+3sinθ,化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4(sinθ-38)2−916.因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sinθ∈[-916,7].所以λ的取值范围为[-916,7].17.在复平面内,复数2-3i1+2i+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于第象限.答案四解析设z=x+yi,x,y∈R,则2-3i1+2i+x+yi=2-2i,即(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)+x+yi=2-2i,(-45+x)+(y-75)i=2-2i,所以{x-45=2,y-75=-2,解得{x=145,y=-35,即z=145−35i,其对应点为(145,-35),在第四象限.三、高考预测18.若z是z的共轭复数,且满足z(1-i)2=4+2i,则z=()A.-1+2iB.-1-2iC.1+2iD.1-2i答案B解析∵z(1-i)2=4+2i,∴z(-2i)=4+2i.∴z=(2+i)i=-1+2i.∴z=-1-2i.故选B.