4．3.1第二课时等比数列的性质及应用(习题课)[A级基础巩固]1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：选A由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于()A.D．C.D．解析：选D法一：设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得a＝6.∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.解得q＝，∴＝＝2＝.法二：设公比为q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1. a2·a8＝a4·a6＝6，∴则或(舍)．∴q2＝＝，∴＝＝.3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100B．－100C．10000D．－10000解析：选C a3a8a13＝a，∴lg(a3a8a13)＝lga＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝a＝10000，故选C.4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝1解析：选B由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝a，所以a＝1，得a3＝1.5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16解析：选C等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a，b，则解得或所以这个未知数为3或27.答案：3或277．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝2＝211＝2048.答案：20489．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.解：法一：由条件得由②得a＝512，即a7＝8.将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.解得q4＝或q4＝2，即q＝±或q＝±.法二： a3a11＝a2a12＝a，∴a＝512，即a7＝8.于是有即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.因此或又 a11＝a3·q8，∴q＝±＝±4＝±或q＝±＝±.10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解： a1a5＝a，a3a7＝a，∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36，同理得a＋2a3a5＋a＝100，∴即解得或分别解得或∴an＝2n－2或an＝26－n.[B级综合运用]11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝()A．230B．210C．220D．215解析：选C a1·a2·a3·…·a30＝230，∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230，∴a1＝2－，∴a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3)＝(2－×22)10×(23)45＝220.12．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为()A．11B．12C．13D．14解析：选B a6＋a7＞a6a7＋1＞2，∴ a1＞1，∴由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1，∴T12＞1， a7＜1，∴a1a13＝a2a12＝…＝a＜1，∴T13＜1，∴n的最大值为12，故选B.13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝________，lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.答案：e55014．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5...