Vol.13>No.1Jam>2010STUDIESIN层能瞬THEMATICS59极限limf(x)=0的一个充分条件的探讨张蕾(临沂卿范学院理学冼•山东临诉.276005)播要从无穷积分「>(工)血收敛与无穷远极限lim/(x)=0之间的关系展开论述，研究在广义积分「>(刃dx收敛的前提下•无穷远极限lim/(x)=0的一个充分条件•在此基础上，适当减弱条件得到该条件J.—Y的推广形式•为更好的解决无穷远极限lim/(x)=0的问题提供更一般的方法.关■词无穷积分°无穷远极限；收敛.中图分类号0171通过高等数学的学习不难发现，级数求和“另”与积分求值“J”之间很相似，这是因为定积分是由求和定义而来的，这使得两者在各自的性质上有很多类同点•在判断级数收敛时，如果于非负且单调递减，则数项级数g/(n)与积分j^/(x)dx有相同的敛散性•另外，如果数项级数£亠收敛，则通项anf0(nf+8)；或者函数项级数刀给(工)一致收敛,则通项这可通过级数收敛或者函数项级数一致收敛的Cauchy准则证明•然而，广义积分厂/(x)dx收敛与极限lim/(x)=0(2)x-^+«之间却没有这样明显的关系，(1)式收敛一般并不能收稿日期：2008-07-17|修改日期：2009—07—13・作者筒介：张11(1980-),女，博士，讲师，主要研究方向为非线性泛函分析maihssgzi888@163.com.保证(2)式成立，反之亦然•但是在广义积分(1)收敛的前提下，可以得到极限(2)的一个充分条件.当函数变为单调时，问题常常变得简单，结果一般也更深入•下面的几个命题便是围绕着被积函数单调展开的.定理1设/(x)在Ca,+oo)上单调递减，且广义积分(1)式收敛，则极限(2)式成立.证明.(丨)首先证明/(x)>0.用反证法.若不然，则3^6［s+oo),使f(d)V0,所以，当h>q时，恒有/(x)w/(X1)<0,从而—/(X)鼻一/(X1)>0,由发散推知(1)式发散，矛盾.(ii)由(1)收敛知，V£>O,mA>d,且A>0,当A',A〃>A时，有|j^/(x)dx<y,故当x>2A时，因/(工)在［a,+oo)上单调递滅，有0<x/(x)=2二/(x)diW(1)显然，函数g(y)为奇函数,3为偶函数•由偶y函数的性质及(6)式，可推出1lim£<2)+丈2y■匕n将其与(6)式相加，即证(2)式成立.推论若乜A是所有R上以2兀为周期的且在［一心兀］逐段光滑的函数所组成的集合，令B=6A).若函数卩(工)eB,则下式成立，卩=£卩(并)・'一8歼.—8參考文IK［1］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(下册北京，离等教育出版社.2001J13—116.297—29&2\JT所以limx/（x）=0*进而推知极限（2）式成立.推论1设函数/（x）在［a,+oc）上单调，且广义积分（1）收敛，则（2〉式成立.证明（丨）当于（工）在［a,+oo）上单调递减时,定理1已给出证明.（li〉当/（x）在［a,+oo）上单调递增时，令g（x）=—/（x）»则g（x）满足定理1的条件，从而有limxg（x）=lim—x/（x）=0>进而可推知（2）式成立.下面我们将这一结果推广到更一般的情况.定理2设函数/（x）在［a,+oo）上单调递减,对P>0,若J（3）收敛，则（2〉式成立.证明（丨）先用反证法证明/（x）>0.若不然，则6［a»+°°）»使/（xi）V0,所以，当x>Xi时，恒有/(xX/Cxx)<0,进而当XNmax{l,|a|}时，有—xpf(.x)m—分)>0・发散知发散，从而发散,矛盾.(II)由(3)收敛知,Ve>0,3A>a,且A>0,当AZ,A">A时，有故当x>2A时，因/（工）在［s+8）上单调递减，有0<x^/（x）=2中J；fj/（x）dr<2中（"f⑺出Vc,从而证得：lim/（x）=0.x-*4-oo进而可推知（2）式成立.利用推论1的证明方法，可得如下结论：推论2设/（x）为［a,+8）上的单调函数,对/>>0,若⑶式收敛，则（2）式成立.上述结论在解决极限（2）及其相关问题上有很好的应用价值.例1设/（工）是区间也，+8）上的单调递减的函数,如果无穷积分（1）绝对收敛,那么无穷积分|/2（x）dx（4）收敛.证明因/（x）单调且无穷积分（1）收敛，故由定理2得极限（1）式成立.对于Ve>0,由于（1）绝对收敛，所以对@>0,存在Ax>a,使得当x>x>时，有|I/（x）|dx<7e.又因极限（1）式成立，故对佑>0,存在A2>a,使当x>A2时，有Iy（x）|<7e.取A=max{Ai,A2}>a,则当x>x>A时，有oWJ,fz（工）也=|I/（^）II/（x）|dx<7e|I/（^）Idx<e.根据Cauchy准则知：无穷积分（4）收敛.参考文雜［1］徐森林，薛春华.数学分析［M］•北京，清华大学岀版社,2005.214.［2］华东师范大学数学系•数学分析［M...