考点规范练52直线与圆锥曲线考点规范练B册第37页基础巩固1.(2018甘肃兰州一诊)双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.❑√54D.❑√5答案D解析不妨设x2a2−y2b2=1的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由{y=bax,y=x2+1,得ax2-bx+a=0,所以Δ=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=❑√5.故选D.2.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,直线l在y轴上的截距的取值范围是()A.(34,+∞)B.[34,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,-1)答案A解析设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程{y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12.又AB的中点(-12,m+1)在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是(34,+∞).3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.❑√63B.❑√33C.❑√23D.13答案A解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2ab❑√b2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=❑√63.故选A.4.(2018山东烟台期末)过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为83,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±32xB.y=±2❑√2xC.y=±2❑√3xD.y=±2x答案B解析由题意得|AB|=2b2a, S△AOB=83,∴12×2b2a×1=83,∴b2a=83.① a2+b2=1,②解①②得a=13,b=2❑√23,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2❑√2x.故选B.5.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.4❑√55C.4❑√105D.8❑√105答案C解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由{x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=❑√1+k2|x1-x2|=❑√1+k2·❑√(x1+x2)2-4x1x2=❑√2·❑√(-85t)2-4×4(t2-1)5=4❑√25·❑√5-t2,当t=0时,|AB|max=4❑√105.6.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得{y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8≥2❑√16k12k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为θ(不妨令θ∈(0,π2)).作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得{|AF|·cosθ+|GF|=|AK1|,|AK1|=|AF|,|GF|=2,所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=21-cosθ.同理可得|BF|=21+cosθ,所以|AB|=41-cos2θ=4sin2θ.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为π2+θ,则|DE|=4sin2(π2+θ)=4cos2θ,所以|AB|+|DE|=4sin2θ+4cos2θ=4sin2θcos2θ=414sin22θ=16sin22θ≥16,当θ=π4时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.7.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案❑√22解析直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为❑√22.由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于❑√22,要使距离d大于c恒成立,只需c≤❑√22即可,故c的最大值为❑√22.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.解(1)由题意可得,c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=2❑√2.故椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),由{y=x+m,x28+y24=1消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,则Δ=9...