也谈数学解题中逆向思维的应用也谈数学解题中逆向思维的应用引言在数学教学中，运用逆向思维解题，能够使我们从不同角度和不同的方向去思考和探索问题，去拓宽学生的解题思路，使学生更灵活、更快捷地解决数学问题。由于数学定义，公式都有可逆性，不少数学定理、数学运算以及解题过程也有可逆性，这些可逆性理论为逆向思维提供了理论依据。下面，结合多年教学实践，通过部分实例，谈谈“逆向思维”在中学数学解题教学中的具体应用。一、定义教学中“定义法”是常见的一种解题方法，定义的逆用，往往更能有效的解决问题，更能使学生深刻理解概念的本质。例1若化简|1-x|—|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围。分析：原式=|1-x|-|x-4|根据题意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5从绝对值定义的反向考虑，推出条件是：1-x≤0，且x-4≤0∴x的取值范围是：1≤x≤4二、公式教学中对于公式既要掌握其正用，又要灵活掌握其逆用变用。逆用和变用就是逆向思维。逆用公式（包括公式变形的逆用），往往可以使问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的灵活性、变通性，使学生养成善于逆向思维的习惯，提高灵活运用知识的能力。公式逆用是学生常常感到困惑的一个问题，也是教学中的一个难点，教学中必须强化这方面的训练。例2设两个自然数的和是20，求这两个数乘积的最大值。解：逆用完全平方公式：设两个自然数是a、b，且a+b=20，则ab=1/4〔（a+b）2-（a-b）2〕=1/4[202-（a-b）2] （a-b）2≥0∴当a-b=0，即a=b时，ab有最大值，最大值为100。例3计算1.34×0.34×2.68-1.343-1.34×0.342解：逆用乘法分配律和完全平方公式：原式=-1.34×（1.342+0.342-0.34×2.68）=-1.34×[（1.34-0.34）2+2×1.34×0.34-0.34×2.68]=-1.34×[12+0]=-1.34例4计算9982解：逆用平方差公式：原式=9982-22+22=（998-2）（998+2）+4=1000×996+4=996004三、方法教学中1.反证法：就是先假设结论的反面成立，推出与已知或定理矛盾，从而推翻假设，肯定原结论的一种证明方法。这种证明方法，可使许多正面不好解决的变得简单多了。例5若a∥b，c∥b.求证a∥c证明：假设a与c不平行，则a，c相交，有一个交点O. a∥b，c∥b，∴过点O有两直线a、c与b平行，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾∴a∥c分析法：即从结论出发，探索使其成立的条件，判断若条件具备，则结论肯定成立。这也是逆向思维的一种运用。例6若关于x的不等式（a-1）x>a2-2的解集为x<2，求a的值。分析：由不等式性质3，从反向进行分析，得：a-1<0，且a2-2=2（a-1）易得，a=0.3.换元法：也称代换法，是一种常见的解题方法。即根据题目其结构特征，逆向寻求代换，将问题转化后得以解决。例7已知y=x+√（1-x），求y的取值范围。若直接入手，有点难度，但可假设：t=√（1-x），得出：x=1-t2∴y=1-t2+t=-t2+t+1∴y=-（t-0.5）2+1.25∴y≤1.25例8若方程x2-mx+m+3=0至多有一个负根，试求m的取值范围。分析：二次方程的两个根至多有一个负根，则它的反面就是两个根都是负根，从此入手，可解。解若方程有两负根，必须同时满足下列不等式：△≥0，x1+x2<0，x1x2>0即：m2-4（m+3）≥0，m<0，m+3>0.解不等式组得-3<m≤-2。<br="">故要方程至多有一个负根时，m的取值范围是：m≤-3或m>-2。四、运算技巧教学中例9计算（12+32+52+……+992）-（22+42+62+……+1002）解原式=（12-22）+（32-42）+……+（992-1002）=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+……+（99-100）（99+100）=-（1+2+3+4+……+99+100）=-5050式子的化简或证明，一般遵循“由繁到简”的原则。但为达到整体化简的目的，有时需做“有简到繁”的工作。例10（2+1）（22+1）（24+1）……（22n+1）的值是解原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）……（22n+1）=（22-1）（22+1）（24+1）……（22n+1）=（42n-1）故选A。习惯上，总是试图“降次”、“降维”，但有些情况却恰恰相反。如本例中的“1”将“1”变成（2-1）再运用公式，使问题巧妙解决。五、反例数学离不开猜想、假设，但有些猜想往往是错误的。若从正面证明其错误性，又相当困难。但如果能找出反例，便可轻而易举的将其推翻。如1640年，在数论...