虹口区2020学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2020.12一．填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，本大题满分54分）1．已知集合，，则．2．方程的根是_____________.3．行列式的值等于．4．函数的反函数为，则．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为（用数字作答）．6．在的二项式展开式中，项的系数是．7．计算：．8．过抛物线的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于、两点，且，则．9．已知，且有，则__________．10．设分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则．11．若分别是正数，的算术平均数和几何平均数，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是．12．已知数列满足，且（其中为数列前项和），是定义在上的奇函数，且满足，则.二．选择题（每小题5分，满分20分）13．若，则下列各式中恒正的是（）14．在中，若，则的形状一定是（）等边三角形直角三角形等腰三角形，等腰直角三角形15．已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是1，2，4，下列区间是函数单调递增区间的是（）．16．在空间，已知直线及不在上两个不重合的点、，过直线做平面，使得点、到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（）．1个2个3个无数个三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图在三棱锥中，棱、、两两垂直，，点在上，且．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求三棱锥的体积．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数，其中．（1）当是奇函数时，求实数的值；（2）当函数在上单调递增时，求实数的取值范围．19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）如图所示，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向处，的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电．要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨．（1）当时，求的值；（2）发电厂尽量远离居民区,要求的面积最大．问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？BA··居民生活区北P20．（本题满分16分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题6分.）已知点、,直线(其中），点在直线上.（1）若，，是常数列，求的最小值；（2）若，，成等差数列，且，求的最大值；（3）若，，成等比数列，且，求的取值范围．21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）.设是实数，是整数，若，则称是数轴上与最接近的整数．（1）数列的通项为，且对任意的正整数，是数轴上与最接近的整数,写出一个满足条件的数列的前三项；（2）数列的通项公式为,其前项和为，求证：整数是数轴上与实数最接近的整数；（3）是首项为2，公比为的等比数列的前项和，是数轴上与最接近的正整数，求.虹口区2020学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、；2、；3、1；4、6；5、；6、112；7、2；8、2；9、；10、；11、；12、0；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、；14、；15、；16、；三、解答题（本大题满分76分）17、（14分）解:（1）如图，取线段，连、.∥，的大小等于异面直线和所成的角或补角的大小．…………3分，,……6分所以异面直线和所成的角的大小等于．………………7分（2）、、两两垂直,，,..…………9分.…………11分.三棱锥的体积大小等于3（立方单位）．………………14分18、（14分）解：（1）是奇函数，对任意均有成立．…………2分整理得．……………………4分，从而解得.………………7分．（2）当时，,在上递减，不符合题意．…………9分当时，此函数是二次函数，根据二次函数的单调性，要使得在上单调递增，只要．………………11分解得,……………………14分19、（14分）解：（1）由条件，得,，…...