一个姊妹不等式的初等证明２０１４年第３期中学数学研究参考文献’……３１（３＂－。１：：彳，导爷孽曼数为尺上的尊函数，ｊ尹？茹＞０时，＾（石）＜＾（０）＝ｎ＋１—３。＜０，．‘．Ａ’（石）＜０’．．．ｘ（ｘ）为Ｒ上减函数得证．（江西），２０１３，１０．［１］刘臻．用通性法证明一些新的不等式题，中学数学研究一个姊妹不等式的初等证明宁夏固原市五原中学宁夏固原市第一中学题目设口，ｂ，Ｃ是正实数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，则有（熹一口）（士一６）（南一ｃ）≥（詈）３（１）（熹＋口）（士＋６）（南＋ｃ）≥（詈）３（２）文［１］介绍上面两个不等式，并给出了不等式（１）的一个证明方法，并希望看到不等式（２）的初等证明，笔者经过几年的研究发现，不等式（２）的证明难度远远大于不等式（１），本文试图给出不等式（２）的初等证明，供同行参考．证明：不等式（２）等价于‘ｒ三＋口）‘ｉ＿毛＋６）（＾＋ｃ）≥（詈）３或１６（１＋口一口２）（１＋６一ｂ２）（１＋ｃ—Ｃ２）≥１３３１（１一ａ）（１一ｂ）（１一ｃ）（３）注意到（１＋ａ—ａ２）（１＋ｂ—ｂ２）（１＋ｃ—ｃ２）＝１＋（口＋ｂ＋ｃ）＋ａｂｅ＋（口６＋６ｃ＋口ｃ）＋ａｂｅ（ａｂ＋６ｃ＋ａｃ）＋（口２６２＋ｂＺｃ２＋０，２Ｃ２）一ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）一（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）一口２６２ｃ２一（ａ２ｂ＋口６２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋（１２Ｃ＋Ｏ，Ｃ２），为了简化上面这个式子，需要用到下面化简后的结果，即口＋ｂ＋ｃ＝１；ａ２＋ｂ２＋Ｃ２＝（口＋ｂ＋ｃ）２—２（ａｂ＋６ｃ＋口ｃ）＝１—２（ａｂ＋６ｃ＋∞）；ａ２ｂ２＋ｂ２ｃ２＋口２ｃ２＝（口６＋６ｃ＋口ｃ）２—２ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝（ａｂ＋ｂｃ＋口ｃ、２—２ａｂｃ；ａ２ｂ＋口６２＋ｂ２ｃ＋６ｃ２＋ａ２Ｃ＋口ｃ２＝（口＋ｂ＋ｃ）（口６＋６ｃ＋郇）一３ａｂｃ＝ａｂ＋６ｃ＋ａｃ一３ａｂｅ．因此得到（１＋ａ—ａ２）（１＋ｂ—ｂ２）（１＋ｃ—Ｃ２）＝１＋ａｂｃ＋２（口６＋６ｃ＋∞）＋ａｂｃ（ａｂ＋６ｃ＋ａｃ）＋（口６＋６ｃ＋口ｃ）２一ａ２ｂ２ｃ２，（１一口）（１一ｂ）（１一ｃ）＝１＋（口６＋６ｃ＋口ｃ）一ａｂｅ一（口＋ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋６ｃ＋ａｃ—ａｂｅ，于是不等式（３）又等价于２１６［１＋ａｂｃ＋２（ａｂ＋万方数据（７５６０００）马占山（７５６０００）徐忠泽６ｃ＋ａｃ）＋ａｂｅ（ａｂ＋６ｃ＋口ｃ）＋（口６＋６ｃ＋∞）２一ａ２ｂ２Ｃ２］≥１３３１（ａｂ＋６ｃ＋口ｃ—ａｂｅ）（４）令ｍ＝ａｂ＋ｂｃ＋口ｃ，ｎ＝ａｂｃ，不等式（４）等价于一２１６ｎ２＋２１６ｍｎ＋１５４７ｎ＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６≥０（５）．。４ａｂ≤（口＋６）２＝（１一ｃ）２；４ｂｃ≤（ｃ＋６）２＝（１一口）２；４ａｃ≤（ａ＋ｃ）２＝（１—６）２．以上三式相乘得到８ａｂｃ≤ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ—ａｂｃｃ：’ａｂ＋ｂｃ＋口ｃ≥９ａｂｃｃ：》ｍ≥９ｎ．．．（５）的左边＝一２１６ｎ２＋２１６（乎＋孑）ｎ＋１５４７ｎ＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６≥一２１６ｎ２＋２１６（－警＋ｎ）ｎ＋１５４７ｎ＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６＝１９２ｒａｎ＋１５４７ｎ＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６（６）为证明（６）式非负，我们引用一个著名Ｓｃｈｕｒ不等式，即设口，ｂ，ｃ是非负实数，则ａ（ａ—ｂ）（口一ｃ）＋ｂ（ｂ—ｃ）（６一口）＋ｃ（ｃ一口）（ｃ一６）≥ｏ，作代换：∑口＝１，∑ａｂ＝ｍ，Ⅱ口＝ｎ．则ｓｃｈ叮不等式等价于ｆ３—４１ｍ＋９ｎ≥ｏ，在本题中∑口＝ｌ＝１，于是得到ｎ≥９（４ｍ一１）．那么（６），＞１９２ｍ×告（４ｍ一１）＋１５４７×吾（４ｍ一１）＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６＝寺（３ｍ一１）（９０４ｍ一３９７），１＝（口＋ｂ＋ｃ）２≥３（ａｂ＋６ｃ＋口ｃ）＝３ｍ＝＇Ｏ＜ｍ≤÷，因此最后一步寺（３ｍ一１）（９０４ｍ一３９７）≥０显