第九节指数函数一、基础知识批注——理解深一点1．指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究.二、常用结论汇总——规律多一点指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．三、基础小题强化——功底牢一点(1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．()(2)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.()(3)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()答案：(1)√(2)×(3)×(二)选一选1．函数y＝2|x|的值域为()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1]答案：B2．函数f(x)＝的定义域是()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．R解析：选A由题意，得1－5x≥0，即5x≤1，所以x≤0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0]．3．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点()A．(0,1)B．(1,1)C．(2,0)D．(2,2)解析：选D由f(2)＝a0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2,2)．(三)填一填4．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.解析：代入得，a＝＝，所以f(－1)＝－1＝.答案：5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．解析： f(x)＝(a－2)x为减函数，∴0<a－2<1，即2<a<3.答案：(2,3)[典例](1)函数f(x)＝21－x的大致图象为()(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．[解析](1)函数f(x)＝21－x＝2×x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求．(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．[答案](1)A(2)(－∞，0][变透练清]1.本例(1)中的函数f(x)变为：f(x)＝2|x－1|，则f(x)的大致图象为()解析：选Bf(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B正确．2.本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点，由典例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．答案：{0}∪[1，＋∞)3．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．解：y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.故m的取值范围为(－∞，－2]．[解题技法]指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解考法(一)比较指数式的大小[典例](2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b[解析]因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A.[答案]A[解题技法]比较指数幂大小的常用方法单调性法不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底取中间值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，进而得出大小关...