1-22章）数学分析题库（五．证明题R中的非空数集，且满足下述条件：，B为1．设ABb??A,ab?a；（1）对任何有???Y?x?0By??A,x，使得（2）对任何，存在..BA?infsup证明：B?S?A，证明：，B是非空数集，记2.设A??BA,S?maxsupsupsup1）；（??B,?mininfinfAinfS2）（?N?3.按定义证明252n5n???lim232?3n??nn2a?lima)1?(n的正面陈述？并验证|是发散数列.如何用ε4.-N方法给出|和||n?n????方法验证：5.用22xx??3??lim.2)?2?3x(xx1?x?M?用方法验证：6．x1??lim.2???x2x?1x????ax)lim?(limf(t)?A.a?(x))U?(x;x证明某邻域内，又7.设，在100x?xt?a0?(x))?limf(A.x?x0??)xf(xx，的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列8.设在点n0x?U?(x)x?x，，（1）0nn00?x?x?x?xlimf(x)?A，（2），都有001n?nnn??limf(x)?A.则x?x09.证明函数3，?为有理数,xxf(x)??0,x为无理数?x?0x?0处连续，但是在.在处不连续00．x?f(x))exf(f(x)f(x)e）内是递增的，试证，1在（与1在（0，10.设）内有定义，且函数0在（0，1）内连续.2x?siny[0,??)上是不一致连续的.，在试证函数11.limf(x)limf(x)f(xf(x))在（a,b=0，证明=在（a,b设函数12.）内连续，且）内有最??ba?xx?大值或最小值.f(x)是连续的，则此函数在（a,b13.证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数）内是一致连续的.f(x)在点a处可导，f（14.x）在点证明：若a处可导.?)ba,在f(x)((xf)严格递增，[a,b]15.设函数上连续，且导函数若内可导，在f(a)?f(b)x?(a,b)均有证明，对一切f(x)<f(a)?f(b)f(x)[a,??]f(a)<0x?(a,??)时，有内可导，并且16.设函数在，试证：若当????(x)>cf(f)?0fx()>c>0???(a,)减弱为把条件使在则存唯一的得，又若/(x)>0(a<x<+?)f，所述结论是否成立？17.证明不等式2xx(x?0)?e1?x?2?limlimf(x)?0x)?0f(x),(f??,??)xf(，为上的连续函数，对所有，且18.设x??????xf(x)必能取到最大值.证明??(1)?f0?1f(0)?0[0,1]f(x)f(0)?f(1)，则存在上二阶可导,，19.若函数，且在??(c)f|?2c?(0,1)|.使得20.应用函数的单调性证明?x2);(0,,x??sinx?x?21?mxsin,x?0?m?)f(xx，（21.设函数为实数）??x?00,?试问：mfx?0连续；在等于何值时，（1）mfx?0可导；在（2）等于何值时，?mfx?0连续；（3）在等于何值时，??(x)?bf(x)?af)xf([0,1]，在上具有二阶导数，且满足条件22.设，a,bc(0,1)内的任一点，证明是其中都是非负常数，b??a)?2fc(2?]b[a,f(x)在?(a,b)使得23.设函数上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在2)a(b?a?b???)f(f(a)?f(b)?2f()?24x(n?1f(x))阶连续导函数,的某个领域上有试由泰勒公式的拉格朗日型余项在点24.若0推导佩亚诺型余项公式.?????b,ba,a?()xa,b)f(,在,在则存在内二阶可导,25.用泰勒公式证明:设函数上连续使得2)?aba?(b''?)f((a)?)?2f()?ff(b.24??????''1f)?(x2,00,2,02)f(x1(x)?f上成上.证明在,26.设函数上二阶可导,且在在立''(x)?f2.??????I,?,ff上满足利普,希茨在函27.设是开区间I上的凸数,则对任何??'''??,x,x?0>L(Lipschitz)条件,即存在,成立,对任何''''''xx)x??Lf(x)?f(.f(x)[a,??]??(a?0)|f(x)?f(y)|?k|x?y|,证明在Lipschitz条件：设28.上满足f(x)[a,??]上一致连续.在x11n?n?????x?xx?1(,1)内有唯一实根。29.在区间试证明方程2．a)(xf具有连续的二阶导数，试证明：在点30.设函数f(a?h)?f(a?h)?2f(a)''?f(lima)2h0?hb))(a,f(x上可导，且在31.设limf(x)?limf(x)?A.x?0?b?0x?a???)?f0(?(a,b).，使求证：存在n)f(x,b](a)[a,bn?1个在点阶上连续，在导32.设数，且在存内有x,x,?,x?(a,b)满足：1n2?1(1)a?x?x???x?b1n21?)bf(f(x)?x)?f(x)????(2)f(a)f(112n?)n(??0?f)()b(a,?求证：存在.，使xxff连续.在点在点存在左右导数，试证33.设函数00??(a]b,b)f[a,，使得在上可导，证明：存在34.设函数22???)a()a)]?(bf?2b[f()?f(.35．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：b?abb?a?ln?b?a?0.，其中baa36.证明:任何有限数集都没有聚点.????ba,是一个严格开区间套,设即满足37.nna?a?L?a?b?L?b?b,122nn1????0?b?alim?b,n?1,2,a?L.存在唯一的一点,使得.证明且:nnnn??n??????xxx的确界.存在聚点,38.设则必是唯一的,为单调数列.证明:若且为nnnf(x)[a,b]f(x)[a,b]上一...