巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题08指数与指数函数一、【知识精讲】1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[微点提醒]1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.二、【典例精练】考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：(1)＋2－2·－(0.01)0.5；(2)(－6ab)÷.【解析】(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.【解法小结】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二指数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围________．【答案】(－∞，－2]【解析】y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.故m的取值范围为(－∞，－2]．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.【答案】(0，2)【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).【解法小结】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.考点三指数函数的性质及应用231212131656211326115236角度1指数函数的单调性【例3－1】(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.【答案】(1)A(2)(－3，1)【解析】(1)因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A.[答案]A(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，则2－a<8，解之得a>－3，所以－3<a<0.当a≥0时，则<1，0≤a<1.综上知，实数a的取值范围是(－3，1).角度2与指数函数有关的复合函数的单调性【例3－2】(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.【答案】(1)(－∞，4](2)(－∞，－1]【解析】(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是，所以g(x)的值域是[2，＋∞).因此有解得a＝1，这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].角度3函数的最值问题【例3－3】如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.4325134325454323132323【答案】3或【解析】令ax＝t，...