小专题(六)特殊平行四边形的性质与判定1.如图，四边形ABCDDEFG都是正方形，连接AE,CG.(1)求证：AE=CG(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.解：(1)证明：•••四边形ABCDDEFG都是正方形，•••AD=CDDE=DG/ADC=ZGDE=90•ZADC+ZADG=ZGDHZADG即ZCDG=ZADE.•△ADE^ACDG(SAS).•AE=CG.(2)猜想：AE1CG.证明：设AE与CG相交于点MAD与CG相交于点N.•/△ADE^△CDG•ZDAE=ZDCG.又TZANM=ZCND•ZAMN=ZADC=90•AE!CG.2.如图，在？ABCD中，过点D作DELAB于点E,点F在边CD上，CF=AE,连接AF,BF.⑴求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF=6,BF=8,DF=10,求证：AF是/DAB的平分线.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，•••AB//CDAB=CD.•/CF=AE,•BE=DF.•四边形BFDE为平行四边形.TDELABDEB=90°.•四边形BFDE是矩形.(2)•/四边形BFDE是矩形,•/BFD=90°.BFC=90在Rt△BFC中，由勾股定理得BC=CF+BF"=62+82=10.•A»BC=10.又•/DF=10,「.AD=DF.•/DAF=/DFA.•/AB//CD•/DFA=ZFAB.•/DAF=ZFAB.•AF是ZDAB的平分线.3.(2018•北京)如图，在四边形ABCD中,AB//DCAB=AD,对角线AC,BD相交于点O,AC平分/BAD过点C作CE!AB交AB的延长线于点E,连接OE.⑴求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=5,BD=2，求OE的长.解：(1)证明：•/AB//DC•••/BAC=/DCA.•/AC平分/BAD•••/DAC=/BAC.•••/DAC=/DCA/.AD=CD.•/AB=AD,•AB=CD./四边形ABCD是平行四边形.又•••AB=AD,/四边形ABCD是菱形.(2)由(1)知四边形ABCD是菱形，1•BDLAC.//AOB=90°,BO=2BD=1.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO=屈―BCJ=2.•••CELABAEC=90°.在Rt△ACE中，点O是斜边AC的中点，.•.OE=AO=2.4.如图，在菱形ABCD中,AB=2,/DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N连接MDAN.⑴求证：四边形AMDN1平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由.解：(1)证明：•••四边形ABCD是菱形，•••ND//AM.•••/NDE=/MAE/DNE=/AME.又•••点E是AD边的中点，•DE=AE.•△NDE^AMAE(AAS).•ND=MA.•四边形AMDN是平行四边形.(2)当AM的长为1时，四边形AMDN1矩形.理由如下:1AM=1=2AD=AE,/DAB=60°,•△AEM是等边三角形.•/AME=/AEM=60°,EM=AE=ED.•/EMD=/EDM=30°.•/AMD=/AME^/EMD=90°.•四边形AMDN是矩形.5.如图1,在？ABCD中，AF平分/BAD交BC于点F,CE平分/BCD交AD于点E.⑴求证：四边形AFCE是平行四边形；⑵如图2,若BE!EC求证：四边形ABFE是菱形.证明：(1)：AF平分/BADCE平分/BCD11•••/FAE=㊁/BAE/FCE=㊁/FCD.•••四边形ABCD是平行四边形，•••/BAE=/FCDAD//BC.•••/FAE=ZFCE/FCE=ZCED.•••/FAE=ZCED/.AF/EC.又•••AE//CF,•四边形AFCE为平行四边形.(2)•/AF/ECBE!EC•AF!BE.•ZAOE=ZAOB=90°.在厶ABO^n^AEO中，/BAO=/EAQAO=AQ/AOB=/AOE•••△ABO^AAEO(ASA.•••BO=EO.•/AD//BCEAF=ZAFB.•/AF平分ZBADBAF=ZEAF.•ZAFB=ZBAF.又TZAOB=ZFOB=90°,BO=BO•△ABO^AFBO(AAS.•AO=FO.•四边形ABFE是平行四边形.又•••AF丄BE•四边形ABFE是菱形.6.如图所示,在?ABCD中,E,F分别是ABCD的中点，AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.⑴你能说明四边形EHFG是平行四边形吗?⑵当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形?⑶四边形EHFG会成为一个正方形吗?解：（1）能说明四边形EHFG是平行四边形.•••四边形ABCD是平行四边形，•••AB//CD.工11而AE=-AB,CF=-CD22•AE//CF.•四边形AECF是平行四边形.•GF//EH.同理可得GE/HF.•四边形EHFG是平行四边形.(2)当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形.由(1)知，四边形EHFG是平行四边形.连接EF.当四边形ABCD是矩形时，四边形EBCF也是矩形，•EH=FH,「.四边形EHFG是菱形.(3)当四边形ABCD是矩形且AB=2AD时，四边形EHFG是正方形.由(2)知，当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形.又由AB=2AD可知，四边形EBCF是正方形.根据正方形的性质知，ECLBF,即/EHF=90°,•四边形EHFG是正方形.
