材料力学中组合梁组合变形的一种通用解法范翠英赵明（郑州大学机械工程学院河南郑州450001）摘要：两种或多种不同材料制成的组合梁是工程实际中的一种常用结构。本文基于材料力学中的平面假设、胡克定律等基本假设和概念，给出了组合梁组合变形分析的一种通用解法，建立轴力、弯矩与拉伸位移和弯曲挠度的关系，推导出拉伸位移和弯曲挠度满足的微分方程。该分析方法简单易懂，适合材料力学教学和工程实际应用。关键词：材料力学；组合梁；组合变形：G640文献标识码：A：1008-6757（2012）08-0066-02梁是工程中最常用的构件，杆或梁的拉、弯、扭变形分析是材料力学课程最基本的讲授内容。两种或多种不同材料制成的组合梁是工程实际中常见的一种结构。在材料力学教学中[1-3]，根据叠加原理，很容易分析求解同一种材料组成的、截面形状较为简单的杆、梁的拉、弯、扭等两种或多种受力的组合变形问题。但是，组合梁的拉—弯组合变形问题的分析显得十分困难。根据实际教学经验，基于简单的微积分知识，本文给出了组合梁组合变形的一种通用分析方法。运用该方法，分析了悬臂梁端部受三种不同载荷作用下，悬臂梁的水平位移和弯曲变形情况。在完成材料力学课程教学内容的同时，该分析方法可作为拓展内容进行讲述。二、组合变形物理关系根据材料力学的平面假设，纵向纤维之间没有挤压应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。即在弹性范围内，由单轴应力状态下的胡克定律可得横截面上的正应力分布(4)由材料力学梁的弯曲应力可知，横截面微元△x上的微力组成一空间平行力系，最终该力系简化为横截面上轴力和弯矩，与正应力的关系为(5)将应力(4)式代入上式中，得到(6)(7)一、组合变形几何关系图1所示的组合梁，宽度为，由上下两种材料组成，上层高度为，材料的弹性模量用表示；下层高度为，材料的弹式(6)和式(7)分别是轴力和弯矩与轴向位移和挠度之间的关系，其中的弯刚度、和分别被称为抗拉刚度、拉弯耦合刚度和抗性模量用表示，且。建立直角坐标系oxy，x轴与两种材料的界面重合。在x轴上，组合梁受x轴方向的分布力(8)(9)、分布弯矩和横向分布力共同作用。x轴上任一点沿x向的水平位移为方，挠度为。(10)式(8)-式(10)给出的抗拉刚度、拉弯耦合刚度和抗弯刚度仅与材料性能和横截面的尺寸形状有关。容易验证，当上下两层等厚，材料相同时，我们有(11)则公式(6)和(7)变为图1组合梁示意图根据材料力学挠曲线方程[2，3]，组合梁任一横截面的转角可由挠度表示为(1)从x轴到y轴的旋转方向为正。根据几何关系，可以得到微元△x中任一点(x，y)沿x方向的位移(12)即退化到矩形截面均质梁的结果。即是对于均质的梁，如果，那么拉弯耦合刚度。三、组合变形平衡关系根据静力学关系可知，微元△x截面上的内力轴力、弯矩和剪力与微元△x上的外力平衡，即内外力满足的下列平衡方程(13)(2)根据应变的定义[1-3]，得到微元△x中纤维的应变(3)收稿日期：2012-07-10作者简介：范翠英（1979-），女，河南郑州人，讲师，从事力学方向的研究。赵明（1963-），男，河南郑州人，教授，从事力学、机械方向的研究。66---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---Vol.27No.8范翠英赵明：材料力学中组合梁组合变形的一种通用解法2012年(14)(15)将轴力和弯矩的表达式(6)、(7)代入方程(13)、(14)(15)得到水平位移和挠度满足的微分方程(30)(31)(一)悬臂梁受轴向力的情况假设组合悬臂梁端部受轴力P作用，即(16)(17)当时，(32)方程(16)、(17)即是以位移和挠度为未知函数的组合梁组合变形的微分方程。将(29)-(31)式代入(32)式，得(33)四、方程的通解将方程(16)微分后代入方程(17)，得到将(23)式代入(27)和(28)，得(34)(18)上式中为等效抗弯刚度，为等效分布载荷可以看出，组合悬臂梁在端部受轴力时，除了产生轴向位移外，还产生了弯曲变形。当拉弯耦合刚度零，也即没有耦合变形。(二)悬臂梁受弯矩的情况悬臂梁在端部受弯矩的作用，边界条件为时，挠度为(19)(20)方程(18)即为材料力学中的梁弯曲问题的微分方程[1-3]，其通解为(21)其中式中的、、和是由边界条件确定的常数。将挠度(21)式代入(16)式，得到水平位移...