高阶微分方程得降阶和幂级数解法4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法一、可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式:0),()(nxxxtF1不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是)57.4(0),()()1()(nkkxxxtF阶方程的则可把方程化为若令knyyxk,)()58.4(0),()(knyyytF若能求得(4.58)的通解),(1knccty对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即),(1)(knkcctx为任常数这里nncccctx,),(11解题步骤:则方程化为令,)(yxk第一步:0),()(knyyytF第二步:求以上方程的通解),(1knccty即),(1)(knkcctx第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解为任常数这里nncccctx,),(11)57.4(0),()()1()(nkkxxxtF解令,44ydtxd则方程化为01ytdtdy这是一阶方程,其通解为,cty即有,44ctdtxd对上式积分4次,得原方程的通解为,54233251ctctctctcx例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd不显含自变量t的方程,一般形式:)59.4(,0),()(nxxxF,作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以xxy,ydtdx因为dtdy22dtxddxdydtdx,dxdyy3232dxddxdtdtdtdtd)(dxdyydxdxdyyd)(dtdx,222dxydy2)(dxdyy用数学归纳法易得:来表达可用)(,)1()1()(nkdxyddxdyyxkkk将这些表达式代入(4.59)可得:2222(,,,(),)0dydydyFxyyyydxdxdx即有新方程0),()1()1(nndxyddxdyyxG它比原方程降低一阶解题步骤:第一步:原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令,,xyxy0),()1()1(nndxyddxdyyxG第二步:求以上方程的通解),(11nccxy第三步:解方程),(11nccxdtdx即得原方程的通解解令,作为新的自变量并以xydtdx则方程化为02ydxdyxy从而可得,0y及,xydxdy这两方程的全部解是,1xcy例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原来变量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解为12,ctxce3已知齐---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---线性方程的非零特解,进行降阶1(1)0xx设是二阶齐线性方程22()()0,(4.69)dx邓小平tqtxdtdt的非零解令1xxy则11xxyxy1112xxyxyxy代入(4.69)得1111112()()()0xyxptxyxpt新疆txy即1112()0xyxptxy1112()0xyxptxy引入新的未知函数,zy方程变为1112()0dzxxptx政法t是一阶线性方程,解之得()21,ptdtczex因而()112211,(4.70)ptdtxxccedtx12,cc这里是任常数.则()21211,ptdtycedtcx因此(4.69)的通解为1x因它与之比不等于常数,12,xx故线性无关120,cc令=1得(4.69)的一个解:()21211,ptdtxxedtx()112211,(4.70)ptdtxxccedtx12,cc这里是任常数.22()()0,(4.69)dx邓小平tqtxdtdt解题步骤:第一步:1xxy令方程变为1112()0xyxptxy第二步:zy令方程变为1112()0dzxxptx政法t解之得()21,ptdtczex即()112211,(.70)ptdtxxccedtx第三步:1210,ccx令=1得与线性无关一个解:()21211,ptdtxxedtx第四步:(4.69)的通解为()112211,(4.70)ptdtxxccedtx12,cc这里是任常数.注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)解这里12sin(),tptxtt由(4.70)得22122sindtttccedtt例322sin20.tdxdxxxtdttdt已知是方程的解,试求方程的通解2122sinsinttcctt12sintcct121sincosctctt12,cc这里是任常数.sintxt21dttcott(2)一般已知齐线性方程111()()0(4.2)nnnnndxdxatatxdtdt2,,,,kxxx1的k个线性无关的解0,1,2,,,ixik显然,kxxy令则kkxxyxy2kkkxxyxyxy()()(1)(2)()(1)2nnnnnkkkknnxxynxyxyxy代入(4.2)得()(1)1()nnkkkxynxatxy()(1)1()0nnkknkxatxaxy(4.2)kx因为的解,y故的系数恒为零,y即化为不含的方程,,zyxk令则在0的区间上方程变为(1)(1)11()()0,(4.67)nnnzbtzbtz(),1,2,,1(4.67)1iikxzikkx且是的个线性无关的解事实上21,,,(4.2),kxxx1由为的解及以上变换知()kkxzxx政法tx或21,,,(4.67),kzzz1因此是的解若12211kkzzz10则121kkkkkxxxxxx12k-1即12211kkkkxxxx102,,,,kxxx1由线性无关知121,kk全为021,,,,kzz1故z线性无关因此,对(4.67)仿以上做法,1,kzudt令z-2un则可把方程化为关于的阶线性方程(2)(3)12()()0,---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---(4.68)nnnuctuctu,k且可(4.68)的-2个线性无关的解1(),1,2,,2iikzuikz-nk以上做法一直下去,可降低阶.二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程22()()0(4.72)dydyp新疆xydxdx...