第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：通解（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：通解2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程令，则二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程它也是变量可分离方程，通解，（为任意常数）2．一阶线性非齐次方程用常数变易法可求出通解公式令代入方程求出则得3．伯努利方程令把原方程化为再按照一阶线性非齐次方程求解。4．方程：可化为以为自变量，为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解令，则，原方程——一阶方程，设其解为，即，则原方程的通解为。令，把看作的函数，则把，的表达式代入原方程，得—一阶方程，设其解为即，则原方程的通解为。四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程（1）二阶非齐次线性方程（2）1．若，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（，为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为2．若，为二阶非齐次线性方程的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（，为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。5．设与分别是与的特解，则是的特解。五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1．二阶常系数齐次线性方程其中，为常数，特征方程特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根，则方程的通解为（2）特征方程有二重根则方程的通解为（3）特征方程有共轭复根，则方程的通解为2．阶常系数齐次线性方程其中为常数。相应的特征方程特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1）若特征方程有个不同的实根则方程通解（2）若为特征方程的重实根则方程通解中含有y=（3）若为特征方程的重共轭复根，则方程通解中含有由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。六、二阶常系数非齐次线性方程方程：其中为常数通解：其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？1．其中为次多项式，为实常数，（1）若不是特征根，则令（2）若是特征方程单根，则令（3）若是特征方程的重根，则令2．或其中为次多项式，皆为实常数（1）若不是特征根，则令（2）若是特征根，则令例题：一、齐次方程1.求的通解解：令，，2.解：，令.(将y看成自变量),所以,,,,.二、一阶线形微分方程1.解：可得.这是以y为自变量的一阶线性方程解得.,.所以得解.2.求微分方程的通解解：变形得：，是一阶线性方程三、伯努力方程解：，，令,，.解得，于是四、可降阶的高价微分方程1.求的通解解：令,原方程化为属于一阶线性方程2.解：令，得到令,得到为关于y的一阶线性方程.，解得所以,.于是,,,,得到,得解五、二阶常系数齐次线形微分方程1.解：特征方程，于是得解2.，解：特征方程,,,得通解为由得到,,,得特解六、二阶常系数非齐次线形微分方程1.求的通解解：先求齐次方程的通解，特征方程为，特征根为。因此齐次方程通解为设非齐次方程的特解为为特征根，因此设,代入原方程可得，故原方程的通解为2.求方程的通解解：特征方程为，特征根为，因此齐次方程的通解为设非齐次方程的特解为,由于题目中不是特征根，因此设，代入原方程可得，解联立方程得，因此故原方程的通解为3.解：特征根为，齐次方程的通解为：，，待入原式得出：，所以，待入原式得出：，所以故原方程的通解为七、作变量代换后求方程的解1.求微分方程的通解解：令原方程化为化简为再令，，最后Z再返回x,y,v也返回x,即...